Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/i3568-6388-7809-u
Асимптотические модели течения в трубе с податливыми стенками
Жуков М. Ю. , Полякова Н. М.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 2.С.89-102.
Аннотация: Для вращательно симметричного безвихревого течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе с податливыми стенками (compliant tube) на основе теории мелкой воды (лагранжев подход) построено нелинейное амплитудное уравнение, описывающее поведение конечных возмущений в окрестности волн, распространяющихся вдоль характеристик. Считается, что течение происходит в бесконечной цилиндрической области, имеющей свободную поверхность, на которой выполнены кинематическое и динамические условия с учетом поверхностного натяжения. Характерный размер цилиндрической области в осевом направлении считается много б'ольшим, чем характерный размер в радиальном направлении. Обнаружено, что в cлучае рассматриваемого безвихревого течения (уравнения Навье - Стокса), уравнения течения не содержат членов, учитывающих вязкость (совпадают с уравнениями идеальной несжимаемой жидкости - уравнениями Эйлера). Влияние вязкости жидкости учитывается лишь за счет динамического краевого условия на границе. Амплитудное уравнение имеет вид уравнения Кортевега-де Вриза - Бюргерса, решение которого достаточно хорошо изучено аналитическими, асимптотическими и численными методами. Вычислены коэффициенты уравнения и, в зависимости от их значений, проведен качественный анализ поведения возмущений. Построенное амплитудное уравнение и возникающие в процессе построения, как главный член асимптотики, квазилинейные гиперболические уравнения, а также уравнения для конечных возмущений, можно использовать для описания течения струи жидкости и/или течения крови в аорте. В принципе, и квазилинейные уравнения, и амплитудное уравнение, и уравнения для конечных возмущений, полученные, как правило, при помощи метода осреднения, известны и широко используются, в частности, для моделирования течения крови. Однако, при конструировании известных моделей при помощи метода осреднения используется большое количество эвристических предположений, зачастую слабо обоснованных. Предлагаемый в представленной работе способ построения моделей математически более корректен и не содержит никаких предположений, кроме сформулированного при постановке задачи требования о безвихревом характере течения и порядке малости параметров (вязкости, поверхностного натяжения). Кроме этого, дано сравнение полученных уравнений с уравнениями метода осреднения и вычислен поправочный коэффициент. С математической точки зрения, построенные модели течений представляют собой уравнения для определения главного и последующего членов асимптотики.
Образец цитирования: Жуков М. Ю., Полякова Н. М. Асимптотические модели течения в трубе с податливыми стенками // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 2. С.89-102. DOI 10.46698/i3568-6388-7809-u
1. Barnard A. C. L., Hunt W. A., Timlake W. P., Varley E. A theory of fluid flow in compliant tubes //
Biophysical Journal. 1966. Vol. 6, № 6. P. 717-724. DOI: 10.1016/S0006-3495(66)86690-0.
2. Womersley J. R. Oscillatory flow in arteries: the constrained elastic tube
as a model of arterial flow and pulse transmission //
Phys. Med. Biol. 1957. Vol. 2, № 2. P. 178-187. DOI: 10.1088/0031-9155/2/2/305.
3. Formaggia L., Nobile F., Quarteroni A., Veneziani A.
Multiscale modelling of the circulatory system: a preliminary analysis //
Computing and Visualization in Science. 1999. T. 2, № 2. P. 75-83. DOI: 10.1007/s007910050030.
4. Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A.
One-dimensional models for blood flow in ar\-te\-ries //
Journal of Engineering Mathematics. 2003. Vol. 47. P. 251-276.
DOI: 10.1023/B:ENGI.0000007980.01347.29.
5. Canic S., Li T. Critical thresholds in a quasilinear hyperbolic model of blood flow //
Networks and Heterogeneous Media. 2009. Vol. 4, № 3. P. 527-536. DOI: 10.3934/nhm.2009.4.527.
6. Canic S. Blood flow through compliant vessels after endovascular repair:
wall deformations induced by the discontinuous wall properties //
Computing and Visualization in Science. 2002. Vol. 4. P. 147–-155.
DOI: 10.1007/s007910100066.
7. Mikelic A., Guidoboni G., Canic S. Fluid-structure interaction
in a pre-stressed tube with thick elastic walls I: the stationary Stokes problem //
Networks and Heterogeneous Media. 2007. Vol. 2, № 3. P. 397-423. DOI: 10.3934/nhm.2007.2.397.
8. Acosta S., Puelz C., Reviere R., Penny D. J., Bready K. M., Rusin C. G.
Cardiovascular mechanics in the early stages of pulmonary hypertension: a computational study //
Biomechanics and Modeling in Mechanobiology. 2017. Vol. 16. P. 2093-2112. DOI: 10.1007/s10237-017-0940-4.
9. Fernandez M. A., Milisic V. Quarteroni A. Analysis of a geometrical multiscale
blood flow model based on the coupling of ODE’s and hyperbolic PDE’S
[Research Report] RR-5127 // INRIA. 2004. 29 p.
10. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории
поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1985. 319 с.
11. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 176 с.
12. Gibbon J. D., McGuinness M. J. Amplitude equations at the critical points of unstable
dispersive physical systems // Proceedings of the Royal Society of London.
Ser. A, Mathematical and Physical Sciences. 1981. Vol. 377,
№ 1769. P. 185-219. DOI: 10.1098/rspa.1981.0121.
13. Agrawal B., Mohd I. K. Mathematical modeling of blood flow //
International Journal of Statistics and Applied Mathematics. 2021. Vol. 6, № 4. P. 116-122.
14. Labadin J., A. Ahmadi A. Mathematical modeling of the arterial blood flow //
Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference on Mathematics, Statistics
and Applications. University Sains Malaysia, Penang, 2006. P. 222-226.
15. Свиридова Н. В., Власенко В. Д. Моделирование гемодинамических процессов
сердечно-сосудистой системы на основе данных периферической артериальной пульсации //
Мат. биология и биоинформатика. 2014. Т. 9, № 1. С. 195-205. DOI: 10.17537/2014.9.195.
16. Астраханцева Е. В., Гидаспов В. Ю., Ревизников Д. Л. Математическое моделирование г
емодинамики крупных кровеносных сосудов // Мат. моделирование. 2005. T. 17, № 8. C. 61-80.
17. Хмель Т. А., Федоров А. В. Моделирование пульсирующих течений в кровеносных капиллярах //
Мат. биология и биоинформатика. 2013. Т. 8, № 1. С. 1-11. DOI: 10.17537/2013.8.1.
18. Жуков М. Ю., Полякова Н. М., Ширяева Е. В. Квазистационарное турбулентное течение
в цилиндрическом канале с неровными стенками // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион.
Естеств. науки. Физ.-мат. науки. 2020. № 1. C. 4-10. DOI: 10.18522/1026–2237-2020-1-4-10.
19. Волобуев А. Н. Течение жидкости в трубах с эластичными стенками //
Успехи физических наук. 1995. Т. 165, № 2. С. 177-186. DOI: 10.3367/UFNr.0165.199502c.0177.
20. Piccioli F., Bertaglia G., Valiani A., Caleffi V. Modeling blood flow in networks
of viscoelastic vessels with the 1-D augmented fluid–structure interaction system //
J. of Computational Physics. 2022. Vol. 464. Article 111364. DOI: 10.1016/j.jcp.2022.111364.
21. Кудряшов Н. А., Синельщиков Д. И., Чернявский И. Л.
Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке //
Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 1. C. 69-86. DOI: 10.20537/nd0801004.
22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика /
4-е изд. М.: Наука, 1986. 736 с.
23. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В., Полякова Н. М. Моделирование испарения капли жидкости.
Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 208 c.
24. Самохин А. В. Дементьев Ю. И.
Моделирование уединенных волн уравнения КдВ-Бюргерса в диссипативно неоднородных средах //
Научный вестн. МГТУ ГА. 2018. Т. 21, № 2. C. 114-121. DOI: 10.26467/2079-0619-2018-21-2-114-121.
25. Чернявский И. Л. Математическое моделирование волновых процессов и ауторегуляции при течении
крови в сосудах: Тез. дисс. ... к.ф.-м.н. М.: РАН МИФИ, 2008. 135 с.
26. Johnson R. S. A non-linear equation incorporating damping and dispersion //
Journal of Fluid Mechanics. 1970. Vol. 42, № 1. P. 49-60. DOI: 10.1017/S0022112070001064.
27. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.-Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.
28. Багаев С. Н., Захаров В. Н., Орлов В. А. О необходимости винтового движения крови //
Российский журнал биомеханики. 2002. T. 6, № 4. C. 30-50.
29. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981. 624 с.
30. Dinnar U. Cardiovascular Fluid Dynamics. CRCPress Taylor & Francis Group, 1981. 260 p. DOI: 10.1201/9780429284861.
31. Bessonov N., Sequeira A., Simakov S., Vassilevskii Yu., Volpert V.
Methods of blood flow modelling // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. Vol. 11, № 1. P. 1-25. DOI: 10.1051/mmnp/201611101.
