Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/c8748-9711-0633-d
Численные методы решения нелокальных краевых задач для обобщенных нагруженных уравнений Аллера
Бештоков М. Х.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 3.С.15-35.
Аннотация: Работа посвящена нелокальным краевым задачам для одномерных по пространству нагруженных уравнений Аллера с переменными коэффициентами и двумя операторами дробного дифференцирования Капуто с порядками \(\alpha\) и \(\beta\). Подобные задачи возникают в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка. Для численного решения поставленных задач на равномерной сетке построены разностные схемы. Методом энергетических неравенств при различных соотношениях между порядками дробной производной Капуто \(\alpha\) и \(\beta\) получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решений нелокальных краевых задач. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей исходной дифференциальной задачи (в предположении существования решения дифференциальной задачи в классе достаточно гладких функций) со скоростью \(O(h^2+\tau^2)\) при \(\alpha=\beta\) и \(O(h^2+\tau^{2-\max\{\alpha,\beta\}})\) при \(\alpha\neq\beta\). В работе также приводится алгоритм численного решения нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения Аллера с переменными коэффициентами и оператором Бесселя.
Образец цитирования: Бештоков М. Х. Численные методы решения нелокальных краевых задач для обобщенных нагруженных уравнений Аллера // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 25, вып. 3. C.15-35.
DOI 10.46698/c8748-9711-0633-d
1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
2. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во "Артишок", 2008. 512 с.
3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
4. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego:
Academic Press, 1999. 368 p.
5. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных
пластах. М.: Недра, 1984. 447 c.
6. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании
фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, №. 4. С. 689-700.
7. Cuesta C., van Duijn C. J., Hulshof J. Infiltration in porous media with
dynamic capillary pressure: travelling waves // Eur. J. Appl. Math. 2000. Vol. 11, № 4. P. 381-397.
DOI: 10.1017/s0956792599004210.
8. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 353 с.
9. Hallaire M. Le potentiel efficace de l'eau dans le sol en regime de
dessechement // L'Eau et la Production Vegetale. Paris: Institut National
de la Recherche Agronomique, 1964. Vol. 9. P. 27-62.
10. Colton D. L. On the analytic theory of pseudoparabolic equations //
Quart. J. Math. 1972. Vol. 23. P. 179-192.
11. Дзекцер Е. С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью
в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, №. 3. С. 540-543.
12. Chen P. J., Gurtin M. E. On a theory of heat conduction involving two temperatures //
J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1968. Vol. 19, № 4. P. 614-627.
DOI: 10.1007/BF01594969.
13. Ting T. W. Certain non-steady flows of second-order fluids // Arch. Ration.
Mech. Anal. 1963. Vol. 14. P. 1-26.
14. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные
уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 c.
15. Беданокова С. Ю. Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания
почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера // Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. 4:
Естеств.-мат. и техн. науки. 2007. Т. 4. С. 68-71.
16. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения
дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: ИБРАЭ РАН, 2003.
17. Лафишева М. М. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений
дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.
18. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения
диффузии дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.
19. Diethelm K., Walz G. Numerical solution of fractional order differential equations
by extrapolation // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 16. P. 231-253.
DOI: 10.1023/a:1019147432240.
20. Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка //
Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 5. C. 658-664.
21. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation //
J. Comput. Phys. 2015. Vol. 280. P. 424-438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
22. Нерпин С. В., Чудновский А. Ф. Энерго- и массообмен в системе растение-почва-воздух.
Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 358 c.
23. Нигматуллин Р. Р. Особенности релаксации системы с "остаточной" памятью //
Физ. твердого тела. 1985. Т. 27, № 5. C. 1583-1585.
24. Бештоков М. Х. Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся уравнений Соболевского
типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках //
Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 2. С. 249-266. DOI: 10.1134/S0374064118020115.
25. Beshtokov M. Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev
type equation and grid methods of their numerical implementation //
IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158, № 1. P. 1-6. DOI: 10.1088/1757-899X/158/1/012019.
26. Бештоков М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений
с дробной производной Герасимова Капуто // Изв. вузов. Математика. 2018. № 10. С. 3-16.
27. Бештоков М. Х. Краевые задачи для обобщенного модифицированного уравнения влагопереноса
и разностные методы их численной реализации // Прикл. матем. и физ. 2020. Т. 52,
№ 2. С. 128-138. DOI: 10.18413/2687-0959-2020-52-2-128-138.
28. Бештоков М. Х. Краевые задачи для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса
дробного по времени порядка с оператором Бесселя и разностные методы их решения //
Вестн. Удмурт. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2020. Т. 30, № 2. С. 158-175.
29. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 617 с.
30. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск:
Наука, Сиб. отд-е, 1981. 208 с.
