Аннотация: В медицинских науках, во время медицинского исследования и диагностики тканей или при медицинской визуализации, мы часто используем математические модели для ответа на вопросы, связанные с этими исследованиями. Среди этих моделей значительный интерес представляет нелинейное уравнение в частных производных типа Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова (сокращенно - уравнение ХЗК) в задачах ультразвуковой акустики. Эта математическая модель описывает нелинейное распространение звукового импульса конечной амплитуды в термовязкой среде. Уравнение получается путем объединения уравнения сохранения массы, уравнения сохранения импульса и уравнений состояния. Следует отметить, что для этого уравнения мало математического анализа. Это уравнение учитывает три комбинированных эффекта: дифракцию волны, поглощение энергии и нелинейность среды, в которой распространяется волна. Уравнение типа ХЗК, представленное в данной работе, представляет собой модифицированную версию модели ХЗК, известной в акустике. Изучается класс уравнений типа Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова на предмет существования глобальных классических решений. Приведены условия, при которых рассматриваемые уравнения имеют хотя бы одно или хотя бы два классических решения. Для доказательства основных результатов мы предлагаем новый подход, основанный на недавних теоретических результатах.
Ключевые слова: уравнение типа Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова, глобальное классическое решение, неподвижная точка, сумма операторов, начальная задача
Образец цитирования: Bouakaz A., Bouhmila F., Georgiev S. G., Kheloufi A. and Khoufache S.
Existence of Classical Solutions for a Class of Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov Type Equations // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 3. C. 36-50 (in English).
DOI 10.46698/n8469-5074-4131-b
1. Kuznetsov, V. P. Equations of Nonlinear Acoustics,
Soviet Physics Acoustics, 1971, vol. 16, pp. 467-470.
2. Zabolotskaya, E. A. and Khokhlov, R. V. Quasi-Plane Waves in the Nonlinear Acoustics
of Confined Beams, Soviet Physics Acoustics, 1969, vol. 15, pp. 35-40.
3. Chou, C.-S., Sun, W., Xing, Y. and Yang, H. Local Discontinuous Galerkin Methods
for the Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetzov Equation, Journal of Scientific
Computing, 2017, vol. 73, no. 2-3, pp. 593-616. DOI: 10.1007/s10915-017-0502-z.
4. Rozanova-Pierrat, A. Mathematical Analysis of Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov
(KZK) Equation, 2006, hal-00112147, 68 p.
5. Averkiou, M. A. and Cleveland, R. O. Modeling of an Electrohydraulic Lithotripter with the KZK Equation,
The Journal of the Acoustical Society of America, 1999, vol. 106, no. 1, pp. 102-112.
DOI: 10.1121/1.427039.
6. Destrade, M., Goriely, A. and Saccomandi, G. Scalar Evolution Equations for Shear
Waves in Incompressible Solids: a Simple Derivation of the Z, ZK, KZK and KP Equations,
Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences,
2011, vol. 467, no. 2131, pp. 1823-1834. DOI: 10.1098/rspa.2010.0508.
7. Kostin, I. and Panasenko, G. Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov Type Equation:
Nonlinear Acoustics in Heterogeneous Media, SIAM Journal on Mathematical Analysis,
2008, vol. 40, no. 2, pp. 699-715. DOI: 10.1137/060674272.
8. Zhang, L., Ji, J., Jiang, J. and Zhang, C. The New Exact Analytical Solutions
and Numerical Simulation of (3 + 1)-Dimensional Time Fractional KZK Equation,
International Journal of Computing Science and Mathematics,
2019, vol. 10, no. 2, pp. 174-192. DOI: 10.1504/IJCSM.2019.098744.
9. Akcagil, S. and Aydemir, T. New Exact Solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov,
the Newell-Whitehead-Segel and the Rabinovich Wave Equations by Using a New Modification of the Tanh-Coth Method,
Cogent Mathematics, 2016, vol. 3, art. ID 1193104, 12 p. DOI: 10.1080/23311835.2016.1193104.
10. Satapathy, P., Raja Sekhar, T. and Zeidan, D. Codimension Two Lie Invariant
Solutions of the Modified Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov Equation,
Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2021, vol. 44, no. 6, pp. 4938-4951.
DOI: 10.1002/mma.7078.
11. Dontsov, E. V. and Guzina, B. B. On the KZK-Type Equation for Modulated Ultrasound Fields,
Wave Motion, 2013, vol. 50, no. 4, pp. 763-775. DOI: 10.1016/j.wavemoti.2013.02.008.
12. Georgiev, S. G. and Zennir, K.
Existence of Solutions for a Class of Nonlinear Impulsive Wave Equations,
Ricerche di Matematica, 2022, vol. 71, no. 1, pp. 211-225. DOI: 10.1007/s11587-021-00649-2.
13. Djebali, S. and Mebarki, K. Fixed Point Index Theory for Perturbation of Expansive
Mappings by \(k\)-Set Contractions, Topological Methods in Nonlinear Analysis,
2019, vol. 54, no. 2A, pp. 613-640. DOI: 10.12775/TMNA.2019.055.
14 Polyanin, A. and Manzhirov, A. Handbook of Integral Equations, CRC Press, 1998, 796 p.
