Аннотация: Очевидным свойством произвольной ненулевой гладкой антипериодической функции является отсутствие соответствующего периода у ее производной. Другими словами, если \(r\) - фиксированное положительное число и на вещественной оси \(f(x+r)+f(x-r)=0\) и \(f'(x+r)-f'(x-r)=0\), то \(f=0\). Этот факт допускает нетривиальные обобщения на многомерные пространства. Одним из общих методов для таких обобщений является следующая теорема Брауна - Шрейбера - Тейлора о спектральном анализе: любое ненулевое подпространство \(\mathcal{U}\) в \(C(\mathbb{R}^n)\), инвариантное относительно всех движений \(\mathbb{R}^n\), содержит радиальную функцию вида \((\lambda|x|)^{1-\frac{n}{2}}J_{\frac{n}{2}-1}(\lambda|x|)\), где \(\lambda\) - некоторое комплексное число, \(J_\nu\) - функция Бесселя первого рода порядка \(\nu\). В частности, если функция \(f\in C^1(\mathbb{R}^n)\) и ее нормальная производная имеют нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса \(r\) в \(\mathbb{R}^n\), то \(f=0\). В терминах сверток это означает инъективность оператора \(\mathcal{P}f =(f\ast \Delta \chi_r, f\ast \sigma_r)\), \(f\in C(\mathbb{R}^n)\), где \(\Delta\) - оператор Лапласа, \(\chi_{r}\) - индикатор шара \(B_r=\{x\in\mathbb{R}^n: |x| < r\}\), \(\sigma_{r}\) - поверхностная дельта-функция, сосредоточенная на сфере \(S_r= \{x\in\mathbb{R}^n: |x|=r\}\). В данной работе изучается задача об обращении оператора \(\mathcal{P}\) на классе распределений. Получена новая формула восстановления распределения \(f\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)\) по известным сверткам \(f\ast \Delta \chi_r\) и \(f\ast \sigma_r\). В работе используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций. Ключевым шагом в доказательстве основного результата является разложение дельта-функции Дирака по системе радиальных распределений с носителями в \(\overline{B}_r\), биортогональной к некоторой системе сферических функций. Подобный подход можно использовать для обращения других операторов свертки с радиальными распределениями из \(\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)\).
Ключевые слова: радиальные распределения, периодичность в среднем, преобразование Помпейю, формулы обращения
Образец цитирования: Волчкова Н. П., Волчков Вит. В. Обращение оператора свертки, ассоциированного со сферическими средними // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 3. С.59-75. DOI 10.46698/z5526-4462-9472-g
1. Minkowski H. Uber die Korper konstanter Breite //
Mat. Sbornik. 1904. Vol. 25. P. 505-508. (in Russian).
2. Funk P. Uber Flachen mit lauter geschlossenen geodatishen linien //
Math. Annal. 1913. Vol. 74. P. 278-300. DOI: 10.1007/BF01456044.
3. Radon J. Uber die bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte
langs gewisser mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat. Kl. 1917. Vol. 69. P. 262-277.
4. Беренстейн К. А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки
и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1989. T. 54. C. 5-111.
5. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by
Solutions of Partial Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1992. P. 185-194.
DOI: 10.1007/978-94-011-2436-2-17.
6. Zalcman L. Supplementary bibliography to "A bibliographic survey of the Pompeiu
problem'' // Contemp. Math. Radon Transform and Tomography. 2001. Vol. 278. P. 69-74.
DOI: 10.1090/conm/278/04595.
7. Volchkov V. V. Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 2003. 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.
9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on
Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London: Springer, 2009. 672 p.
DOI: 10.1007/978-1-84882-533-8.
10. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric
Spaces. Basel: Birkhauser, 2013. 592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.
11. Brown L., Schreiber B. M., Taylor B. A. Spectral synthesis and the Pompeiu
problem // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1973. Vol. 23, № 3. P. 125-154.
DOI: 10.5802/aif.474.
12. Икромов И. А. Восстановление функции
по сферическим средним // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, вып. 5(257). С. 211-212.
13. Berenstein C. A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform //
J. Analyse Math. 1990. Vol. 54, № 1. P. 259-287. DOI: 10.1007/bf02796152.
14. Helgason S. Integral Geometry and Radon Transforms. New York: Springer,
2010. 301 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-6055-9.
15. Волчкова Н. П., Волчков Вит. В. Проблема деконволюции для индикаторов отрезков //
Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, вып. 3. С. 3-14. DOI:
10.25587/SVFU.2019.47.12.001.
16. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными,
Т. I. М: Мир, 1986. 461 c.
17. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. 735 с.
18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Т. 2. М.:
Наука, 1974. 296 с.
19. El Harchaoui M. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans les espaces hyperboliques
reel et complexe (Cas de deux boules) // J. Anal. Math. 1995. Vol. 67, № 1. P. 1-37. DOI:
10.1007/BF02787785.
20. Berkani M., El Harchaoui M., Gay R. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans
lespace hyperbolique quaternique Cas des deux boules // J. Complex
Variables. 2000. Vol. 43, № 1. P. 29-57. DOI: 10.1080/17476930008815300.
21. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватернионном
гиперболическом пространстве // Докл. РАН. 2001. Т. 379, № 5. С. 587-590.
22. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на
кватернионном гиперболическом пространстве // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15,
вып. 5. С. 169-197.
23. Volchkov Vit. V. On functions with given spherical means on symmetric spaces //
J. Math. Sci. 2011. Vol. 175, № 4. P. 402-412. DOI: 10.1007/s10958-011-0354-2.
24. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Inversion of the local Pompeiu transformation on Riemannian
symmetric spaces of rank one // J. Math. Sci. 2011. Vol. 179, № 2. P. 328-343. DOI:
10.1007/s10958-011-0597-y.
25. Волчков B. B., Волчков Вит. В. Сферические средние на двухточечно-однородных
пространствах и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77, № 2. С. 3-34. DOI:
10.4213/im7956.
26. Rubin B. Reconstruction of functions on the sphere from their integrals over
hyperplane sections // Anal. Math. Phys. 2019. Vol. 9, № 4. P. 1627-1664.
DOI: 10.1007/s13324-019-00290-1.
27. Salman Y. Recovering functions defined on the unit sphere by integration on a special
family of sub-spheres // Anal. Math. Phys. 2017. Vol. 7, № 2. P. 165-185.
DOI: 10.1007/s13324-016-0135-7.
28. Hielscher R., Quellmalz M. Reconstructing a function on the sphere from its means along
vertical slices // Inverse Probl. Imaging. 2016. Vol. 10, № 3. P. 711-739.
DOI: 10.3934/ipi.2016018.
29. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит,
2008. 400 c.
30. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Издательская группа URSS,
2022. 632 с.
31. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, Т. 2. М.: Юрайт-Издат,
2013. 357 c.
