Теорема Крейна - Мильмана для однородных полиномов

Кусраева З. А.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 3.С.89-97.

Аннотация:
Настоящая заметка посвящена задаче о восстановлении выпуклого множества однородных полиномов по крайним точкам, т. е. обоснованию полиномиального варианта классической теоремы Крейна - Мильмана. В этом направлении мало, что сделано; имеющиеся работы большей частью посвящены описанию крайних точек единичного шара в пространстве однородных полиномов в разных специальных случаях. Даже в случае линейных операторов классическая теорема Крейна - Мильмана не работает, так как замкнутые выпуклые множества операторов лишь в очень частных случаях оказываются компактными в какой-нибудь естественной топологии. В 1980-х годах был предложен новый подход к изучению экстремальной структуры выпуклых множеств линейных операторов на основе теории пространств Канторовича и получена операторная форма теоремы Крейна - Мильмана. Комбинируя упомянутый подход с методом линеаризации однородных полиномов, в настоящей работе получен вариант теоремы Крейна - Мильмана для однородных полиномов. А именно, показано, что слабо порядково ограниченное, операторно выпуклое и поточечно порядково замкнутое множество однородных полиномов, действующих из векторного пространства в пространство Канторовича, является замыканием относительно поточечной порядковой сходимости операторно выпуклой оболочки своих крайних точек. Получено также мильмановское обращение теоремы Крейна - Мильмана для однородных полиномов: крайние точки наименьшего операторно выпуклого поточечно порядково замкнутого множества, содержащего данное множество \(A\) однородных полиномов, представляют собой поточечные равномерные пределы подходящих сетей перемешиваний элементов \(A\). Под перемешиванием семейства полиномов со значениями в пространстве Канторовича понимается (бесконечная) сумма этих полиномов, умноженных на попарно дизъюнктные порядковые проекторы в упомянутом пространстве Каторовича, сумма которых равна тождественному оператору.

Ключевые слова: крайние точки, выпуклое множество, однородный полином, векторная решетка, теорема Крейна - Мильмана

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы