Аннотация: Идея теории исчисления временных шкал была инициирована Хильгером (1988) в его докторской диссертации с целью унификации дискретного и непрерывного анализа и применить дискретную и континуальную теории к случаям "промежуточным". С тех пор математические исследования в этой области породили более 1000 публикаций с приложениями в различных науках, таких как исследование операций, экономика, физика, техника, статистика, финансы, биология. Островский доказал неравенство для оценки абсолютного отклонения дифференцируемой функции от ее интегрального среднего. Этот результат был получен с помощью тождества Монтгомери. В настоящей статье мы выводим обобщение тождества Монтгомери для различных временных шкал, таких как дискретный случай, непрерывный случай и случай квантового исчисления. Получив это обобщение тождества Монтгомери, мы докажем наши результаты об обобщении неравенства Островского (без весового случая) для упомянутых временных шкал. Таким образом, удается повторить несколько ранее опубликованных результатов разных авторов в различных статьях и унифицировать соответствующую дискретную версию и непрерывную версии. Точно так же мы также получим наши результаты об обобщении неравенств Островского (весовой случай) на разные временные шкалы, повторим ранее опубликованные результаты и, тем самым, унифицируем соответствующую дискретную версию и непрерывную версию. Более того, мы применим полученные нами результаты (без весового случая) к случаю квантового исчисления.
Образец цитирования: Khan, A. R., Mehmood, F. and Shaikh, M. A. Generalization of the Ostrowski Inequalities on Time Scales // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, №3. C.98-110 (in English). DOI 10.46698/q4172-3323-1923-j
1. Ostrowski, A. Uber die Absolutabweichung einer Differenzierbaren Funktion
von Ihrem Integralmittelwert, Commentarii Mathematici Helvetici,
1937, vol. 10, no. 1, pp. 226-227. DOI: 10.1007/BF01214290.
2. Hassan, A., Khan, A. R., Mehmood, F. and Khan, M.
\(\mathbf{BF}\)-Ostrowski Type Inequalities via \(\phi\)-\(\lambda\)-Convex Functions,
International Journal of Computer Science and Network Security,
2021, vol. 21, no. 10, pp. 177-183. DOI: 10.22937/IJCSNS.2021.21.10.24.
3. Hassan, A., Khan, A. R., Mehmood, F. and Khan, M.
Fuzzy Ostrowski Type Inequalities via \(h\)-Convex,
Journal of Mathematical and Computational Science,
2022, vol. 12, pp. 1-15. DOI: 10.28919/jmcs/6794.
4. Hassan, A., Khan, A. R., Mehmood, F. and Khan, M.
Fuzzy Ostrowski Type Inequalities via \(\phi\)-\(\lambda\)-Convex Functions,
Journal of Mathematical and Computational Science,
2023, vol. 28, pp. 224-235. DOI: 10.22436/jmcs.028.03.02.
5. Bohner, M., Khan, A. R., Khan, M., Mehmood, F. and Shaikh, M. A.
Generalized Perturbed Ostrowski-Type Inequalities,
Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, Sectio A - Mathematica,
2021, vol. 75, no. 2, pp. 13-29. DOI: 10.17951/a.2021.75.2.13-29.
6. Dragomir, S. S., Khan, A. R., Khan, M., Mehmood, F. and Shaikh, M. A.
A New Integral Version of Generalized Ostrowski-Gruss Type Inequality with Applications,
Journal of King Saud University - Science, 2022, vol. 34, no. 5, pp. 1-6. DOI: 10.1016/j.jksus.2022.102057.
7. Shaikh, M. A., Khan, A. R., and Mehmood, F.
Estimates for Weighted Ostrowski-Gruss Type Inequalities with Applications,
Analysis, 2022, vol. 42, no. 3, pp. 1-11. DOI: 10.1515/anly-2021-0044.
8. Mitrinovic, D. S., Pecaric, J. E. and Fink, A. M. Inequalities Involving Functions
and their Integrals and Derivatives, Mathematics and its Applications
(East European Series), vol. 53, Dordrecht, Kluwer Academic Publisher Group,
1991, 565 p. DOI: 10.1007/978-94-011-3562-7.
9. Ein Mamit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten,
Ph.D. Thesis, Universitat Wurzburg, 1988.
10. Bohner, M. and Georgiev, S. G.
Multivariable Dynamic Calculus on Time Scales,
Springer International Publishing, 2016.
DOI: 10.1007/978-3-319-47620-9.
11. Bohner, M. and Peterson, A. Dynamic Equations on Time Scales,
Boston, MA, Birkhauser Boston Inc., 2001.
DOI: 10.1007/978-1-4612-0201-1.
12. Bohner, M. Calculus of Variations On Time Scales,
Dynamic Systems and Applications,
2004, vol. 13, no. 3-4, pp. 339-349.
13. Bartosiewicz, Z., Martins, N. and Torres, D. F. M.
The Second Euler-Lagrange Equation of Variational Calculus on Time Scales,
European Journal of Control, 2011, vol. 17, no. 1, pp. 9-18.
DOI: 10.3166/ejc.17.9-18.
14. Ferreira, R. A. C., Malinowska, A. B. and Torres, D. F. M.
Optimality Conditions for the Calculus of Variations with Higher-Order Delta Derivatives,
Applied Mathematics Letters, 2011, vol. 24, no. 1, pp. 87-92. DOI: 10.1016/j.aml.2010.08.023.
15. Hilscher, R. and Zeidan, V. Calculus of Variations on Time Scales:
Weak Local Piecewise \(C^{1_{rd}}\) Solutions with Variable Endpoints,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, vol. 289, no. 1,
pp. 143-166. DOI: 10.1016/j.jmaa.2003.09.031.
16. Hilscher, R. and Zeidan, V. Weak Maximum Principle and Accessory Problem
for Control Problems on Time Scales, Nonlinear Analysis: Theory, Methods
and Applications, 2009, vol. 70, no. 9, pp. 3209-3226. DOI: 10.1016/j.na.2008.04.025.
17. Malinowska, A. B., Martins, N. and Torres, D. F. M. Transversality Conditions
for Infinite Horizon Variational Problems on Time Scales, Optimization Letters,
2011, vol. 5, no. 1, pp. 41-53. DOI: 10.1007/s11590-010-0189-7.
18. Malinowska, A. B. and Torres, D. F. M. Natural Boundary Conditions
in the Calculus of Variations, Mathematical Methods in the Applied Sciences,
2010, vol. 33, no. 14, pp. 1712-1722. DOI: 10.1002/mma.1289.
19. Bohner, M. and Matthews, T. Ostrowski Inequalities on Time Scales,
Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,
2008, vol. 9, no. 1, pp. 1-8.
20. Dragomir, S. S. The Discrete Version of Ostrowski's Inequality in Normed Linear Spaces,
Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2002, vol. 3, no. 1, art. 2.
21. Dragomir, S. S. Ostrowski Type Inequalities for Isotonic Linear Functionals,
Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,
2002, vol. 3, no. 5, art. 68.
22. Gavrea, B. and Gavrea, I. Ostrowski Type Inequalities from a Linear Functional Point of View,
Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,
2000, vol. 1, no. 2, art. 11.
