Аннотация: В данной работе рассматривается задача Коши для модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с зависящими от времени коэффициентами и самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Для решения поставленной задачи используется метод обратной задачи теории рассеяния. Найдены пары Лакса, что позволит применить метод обратной задачи рассеяния для решения поставленной задачи Коши. Отметим, что в рассматриваемом случае оператор Дирака не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут быть кратными. Найдены уравнения динамики изменения во времени данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами, зависящими от времени и с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Рассмотрен особый случай модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами, зависящими от времени, и самосогласованным источником, а именно нагруженное модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза с самосогласованным источником. Найдены уравнения динамики изменения во времени данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением нагруженного модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами в классе быстроубывающих функций. Приведены примеры, иллюстрирующие применение полученных результатов.
Ключевые слова: нагруженное модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза, решения Йоста, данные рассеяния, интегральное уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко
Образец цитирования: Собиров Ш. К., Хоитметов У. А. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза с зависящими от времени коэффициентами и с самосогласованным источником //
Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 3. С. 123-142.
DOI 10.46698/q2165-6700-0718-r
1. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collislontess plasma
and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. Vol. 15, № 6. P. 240-243.
2. Gardner C. S., Greene I. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving
the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19. P. 1095-1097.
3. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves //
Comm. Pure and Appl. Math. 1968. Vol. 21, № 5. P. 467-490. DOI: 10.1002/cpa.3160210503.
4. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной
автомодуляции волн в нелинейных средах // Журн. эксперим. и теор. физики. 1971. Т. 61. С. 118-134.
5. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation //
J. Phys. Soc. Japan. 1972. Vol. 32. P. 1681. DOI: 10.1143/JPSJ.32.1681.
6. Khater A. H., El-Kalaawy O. H., Callebaut D. K. Backlund transformations and exact solutions
for Alfven solitons in a relativistic electron-positron plasma //
Physica Scripta. 1998. Vol. 58, № 6. P. 545-548. DOI: 10.1088/0031-8949/58/6/001.
7. Tappert F. D., Varma C. M. Asymptotic theory of self-trapping of heat pulses
in solids // Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 25. P. 1108-1111. DOI: 10.1103/PhysRevLett.25.1108.
8. Mamedov K. A. Integration of mKdV equation with a self-consistent source
in the class of finite density functions in the case of moving eigenvalues //
Russian Mathematics. 2020. Vol. 64. P. 66-78. DOI: 10.3103/S1066369X20100072.
9. Wu J., Geng X. Inverse scattering transform and soliton classification
of the coupled modified Korteweg-de Vries equation // Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 53. P. 83-93. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.03.022.
10. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation
in the class of rapidly decreasing functions // The Bulletin of Irkutsk State
University. Ser. Math. 2021. Vol. 38. P. 19-35. DOI: 10.26516/1997-7670.2021.38.19.
11. Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient
mKdV equations: an equivalence based approach // Communications in Nonlinear
Science and Numerical Simulation. 2012. Vol. 17, № 2. P. 611-618. DOI: 10.1016/j.cnsns.2011.06.038.
12. Das S., Ghosh D. AKNS formalism and exact solutions of KdV and modified
KdV equations with variable-coefficients // International Journal of Advanced
Research in Mathematics. 2016. Vol. 6. P. 32-41. DOI: 10.18052/www.scipress.com/IJARM.6.32.
13. Zheng X., Shang Y., Huang Y. Abundant Explicit and Exact Solutions for the variable
Coefficient mKdV Equations // Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied
Analysis. 2013. 7 p. Article ID 109690. DOI: 10.1155/2013/109690.
14. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега де Фриза //
Теоретическая и математическая физика. 2011. Т. 168, № 1. С. 35-48.
15. Zhang D.-J., Zhao S.-L., Sun Y.-Y., Zhou J. Solutions to the modified Korteweg-de
Vries equation // Reviews in Math. Phys. 2014. Vol. 26, № 7, 1430006. 42 p. DOI: 10.1142/S0129055X14300064.
16. Hirota R. Exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions
of solitons // J. Phys. Soc. Jpn. 1972. Vol. 33. P. 1456-1458. DOI: 10.1143/JPSJ.33.1456.
17. Gesztesy T., Schweiger W., Simon B. Commutation methods applied to the mKdV-equation //
Trans. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 324. P. 465-525. DOI: 10.2307/2001730.
18. Pradhan K., Panigrahi P. K. Parametrically controlling solitary wave dynamics
in the modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 343-348. DOI: 10.1088/0305-4470/39/20/L08.
19. Yan Z. The modified KdV equation with variable coefficients:Exact uni/bi-variable travelling wave-like solutions // Applied Mathematics and Computation. 2008. Vol. 203. P. 106-112. DOI: 10.1016/j.amc.2008.04.006.
20. Хасанов А. Б. Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных
дифференциальных уравнений первого порядка // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 3. С. 559-562.
21. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 c.
22. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые
уравнения. М.: Мир, 1988. 697 c.
23. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 304 c.
24. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения //
Дифф. ур-я. 1983. T. 19, № 1. С. 86-94.
25. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи //
Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2004. T. 44, № 4. С. 694-716.
26. Hasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded Korteweg-de
Vries equation in the class of rapidly decreasing functions //
Proc. Inst. Math. Mech. NAS Azer. 2021. Vol. 47, № 2. P. 250-261.
DOI: 10.30546/2409-4994.47.2.250.
27. Hoitmetov U. A. Integration of the loaded KdV equation with a self-consistent
source of integral type in the class of rapidly decreasing complex-valued functions //
Siberian Adv. Math. 2022. Vol. 33, № 2. P. 102-114. DOI: 10.1134/S1055134422020043.
28. Хасанов А. Б., Хоитметов У. А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега
де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций //
Изв. вузов. Мат. 2021. № 7. С. 52-66.
29. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On complex-valued solutions of the general loaded
Korteweg-de Vries equation with a source // Diff. Equat. 2022. Vol. 58, № 3. P. 381-391.
DOI: 10.1134/S0012266122030089.
30. Hoitmetov U. A. Integration of the loaded general Korteweg-de Vries equation
in the class of rapidly decreasing complex-valued functions //
Eurasian Math. J. 2022. Vol. 13, № 2. P. 43-54. DOI: 10.32523/2077-9879-2022-13-2-43-54.
31. Babajanov B., Abdikarimov F. The Application of the functional variable
method for solving the loaded non-linear evaluation equations //
Front. Appl. Math. Stat. 2022. Vol. 8, 912674. DOI: 10.3389/fams.2022.912674.
