Операторы весовой композиции на квазибанаховых весовых пространствах последовательностей

Абанин А. В. , Маннаников Р. С.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 4.С.5-19.

Аннотация:
В работе рассматриваются основные топологические свойства операторов весовой композиции на весовых пространствах последовательностей \(l^p(\text{w})\), \(0<p<\infty,\) где \(\text{w}\) - весовая последовательность положительных чисел: ограниченность, компактность, компактность разностей операторов, формулы для их существенных норм, а также описание тех из них, чей образ является замкнутым.  Ранее данные свойства изучались Д. М. Луаном и Л. Х. Хоем для случая гильбертова пространства \((p=2)\). Предложенные ими методы с небольшими модификациями могут быть применены для случая банаховых пространств \(l^p(w)\), \(p>1\). Они существенно опираются на использование сопряженных пространств линейных непрерывных функционалов и, следовательно, не подходят для изучения квазибанахова случая (\(0<p<1\)).  Более того, некоторые из них не подходят даже для банахова пространства \(l^1(\text{w})\).
В соответствии с изложенными выше причинами нами разработан более универсальный подход, позволяющий исследовать всю шкалу пространств \(\{ l^p(\text{w}): p>0 \}\). С этой целью установлены необходимые и достаточные условия компактности линейного оператора на абстрактном квазибанаховом пространстве последовательностей, являющиеся новыми также для случая банаховых пространств. Более того, введена в рассмотрение новая характеристика - \(\omega\)-существенная норма линейного непрерывного оператора \(L\) на квазибанаховом пространстве \(X\). Она является расстоянием по операторной квазинорме между \(L\) и множеством всех \(\omega\)-компактных операторов на \(X\). При этом оператор \(K\) назван \(\omega\)-компактным на \(X\), если он компактен и покоординатно непрерывен на \(X\). В связи с этим показано, что для \(l^p(\text{w})\) (\(p>1\)) существенная и \(\omega\)-существенная нормы оператора весовой композиции совпадают.
При \(0 < p \le 1\) справедливость этого утверждения не установлена. Главными результатами данной работы для операторов весовой композиции на \(l^p(\text{w})\) (\(0<p<\infty\)) являются: критерии ограниченности, компактности и замкнутости образа; полное описание пар операторов, разность которых компактна; точная формула для \(\omega\)-существенной нормы. Некоторые ключевые моменты разработанного подхода могут быть использованы для других операторов и шкал пространств.

Ключевые слова: квазинормированные весовые пространства, операторы весовой композиции

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы