Аннотация: Проведено исследование задачи градиентной элекроупругости для сплошного радиально-поляризованного цилиндра с покрытием. На неэлектродированную боковую поверхность покрытия действует постоянная нормальная механическая нагрузка. Модель электроупругости включает один градиентный механический параметр. При этом учитывается влияние градиента деформации, но не учитывается влияние градиента напряженности электрического поля. В рамках градиентной постановки задаются дополнительные к классической постановке граничные условия и условия сопряжения. После исключения электрического потенциала задача сводится к задаче градиентной теории упругости с ужесточенными модулями упругости. В случае однородного покрытия получены аналитические выражения для нахождения радиальных смещений и напряжений. В случае неоднородного покрытия численное решение построено на основе метода пристрелки. Проведены вычисления смещений, напряжений Коши и моментных напряжений, как однородного, так и неоднородного покрытий. Осуществлен сравнительный анализ результатов, полученных на основе моделей классической и градиентной электроупругости в зависимости от значений масштабного параметра. Проведено исследование влияния законов неоднородности материальных характеристик покрытия на распределение перемещений. Выяснено, что: 1) напряжения Коши испытывают скачок на границе цилиндра и покрытия; 2) моментные напряжения принимают пиковое значение на поверхности сопряжения; 3) увеличение масштабного параметра снижает значения радиальных перемещений.
Ключевые слова: сплошной цилиндр, покрытие, градиентная модель электроупругости, напряжения Коши, моментные напряжения, полные напряжения, масштабные эффекты, метод пристрелки, функционально-градиентный материал
Образец цитирования: Ватульян А. О., Нестеров С. А. Масштабно-зависимая модель электроупругости для сплошного цилиндра с покрытием // Владикавк. матем. журн. 2023. Т. 25, вып. 4. С.29-40. DOI 10.46698/q5632-5654-3734-n
1. Li X.-F., Peng X.-L., Lee K. Y. Radially polarized functionally graded piezoelectric hollow cylinders as sensors and actuators // Eur. J. Mech. - A/Solids. 2010. Vol. 29, № 4. P. 704-713. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2010.02.003.
2. Lam D. C., Yang F., Chong A., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity //
J. Mech. Phys. Solids. 2003. Vol. 51 (8). P. 1477-1508. DOI: 10.1016/S0022-5096(03)00053-X.
3. Aifantis E. C. Gradient effects at the macro, micro- and nano- scales // J. Mech. Behav. Mater. 1994. Vol. 5. P. 335–-353. DOI: 10.1515/JMBM.1994.5.3.355.
4. Adelman N., Stavsky Ye., Segal E. Axisymmetric vibrations of radially polarized piezoelectric ceramic cylinders //
Journal of Sound and Vibration. 1975. Vol. 38, № 2. P. 245-254. DOI: 10.1016/S0022-460X(75)80008-3.
5. Партон В. З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.
6. Ватульян А. О., Кондратьев В. С. Колебания неоднородного пьезокерамического цилиндра при наличии затухания //
Проблемы прочности и пластичности. 2016. Т. 78, № 4. С. 406-414. DOI: 10.32326/1814-9146-2016-78-4-406-414.
7. Ломакин Е. В., Лурье С. А., Рабинский Л. Н., Соляев Ю. О. Об уточнении напряженного состояния в прикладных задачах теории упругости за счет градиентных эффектов //
Докл. Акад. наук. 2019. Т. 489, № 6. С. 585-591. DOI: 10.31857/S0869-56524896585-591.
8. Toupin R. A. Elastic materials with couple stresses //
Arch. Rational Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 385-414. DOI: 10.1007/BF00253945.
9. Mindlin R. D. Micro-structure in linear elasticity //
Arch. Rational Mech. Anal. 1964. Vol. 16. P. 51-78. DOI: 10.1007/BF00248490.
10. Лурье С. А., Фам Т., Соляев Ю. О. Градиентная модель термоупругости и ее приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18, № 3. С. 440-449.
11. Hadjesfandiari A. R. Size-dependent piezoelectricity //
Int. J. Solids Struct. 2013. Vol. 50(18). P. 2781-2791. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.04.020.
12. Shodja H. M., Ghazisaeidi M. Effects of couple stress on anti-plane problems of piezoelectric media with inhomogeneities // Eur. J. Mech. - A/Solids. 2007. Vol. 26. P. 647-658. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2006.09.001.
13. Yang X. M., Hu Y. T., Yang J. S. Electric field gradient effects in anti-plane problems
of polarized ceramics // Int. J. Solids Struct. 2004. Vol. 41(24-25). P. 6801-6811.
DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.05.018.
14. Лурье М. В. Задачи Ламе в градиентной теории упругости //
Докл. АН СССР. 1968. Т. 181, № 5. С. 1087-1089.
15. Papargyri-Beskou S., Tsinopoulos S. Lame's strain potential method for plane gradient elasticity problems //
Arch. Appl. Mech. 2015. Vol. 85, № 9-10. P. 1399-1419. DOI: 10.1007/s00419-014-0964-5.
16. Gao X. L., Park S. K. Variational formulation of a simplified strain gradient elasticity theory
and its application to a pressurized thick-walled cylinder problem //
Int. J. Solids Struct. 2007. Vol. 44 (22-23). P. 7486-7499. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.04.022.
17. Chu L., Dui G. Exact solutions for functionally graded micro-cylinders in first gradient elasticity //
Int. J. Mech. Sci. 2018. Vol. 48. P. 366-373. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.09.011.
18. Ватульян А. О., Нестеров С. А., Юров В. О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с покрытием на основе градиентной модели термоупругости //
Вестн. Пермского национ. исслед. политехн. ун-та. Механика. 2021. № 4. С. 60-70. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.07.
19. Li A., Zhou S., Wang B. A. Size-dependent bilayered microbeam model based
on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. 2014. Vol. 108. P. 259-266. DOI: 10.1016/j.compstruct.\linebreak 2013.09.020.
20. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Градиентная модель изгиба составной балки //
Экологический вестник научных центров ЧЭC. 2022. Т. 19, № 2. С. 6-16. DOI: 10.31429/vestnik-19-2-6-16.
21. Vatulyan А. О., Nesterov S. А. Modeling of thermoelastic deformation of a thin-layer "coating-substrate" system // J. Phys.: Conf. Ser. 2022. Vol. 2317, 012012. DOI: 10.1088/1742-6596/2317/1/012012.
22. Dini A., Shariati M., Zarghami F., Amin Nematollahi M. Size dependent analysis of a functionally graded piezoelectric micro cylinder based on the strain gradient theory with the consideration of flexoelectric effect:
plane strain problem // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2020. Vol. 42. P. 410-432. DOI: 10.1007/s40430-020-02497-x.
23. Zheng Y., Chu L., Dui G., Zhu X. Modeling and simulation of functionally graded
flexoelectric micro-cylinders based on the mixed finite element method //
Applied Physics A. 2021. Vol. 127. Article № 153. DOI: 10.1007/s00339-021-04316-z.
24. Chu L., Li Y., Dui G. Size-dependent electromechanical coupling in functionally graded flexoelectric nanocylinders // Acta Mech. 2019. Vol. 230. P. 3071-3086. DOI: 10.1007/s00707-019-02442-7.
25. Solyaev Y., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory //
Acta Mech. 2019. Vol. 230. P. 4197-4211. DOI: 10.1007/s00707-019-02484-x.
26. Ватульян А. О., Нестеров С. А., Юров В. О. Решение задачи градиентной
термоупругости для цилиндра с термозашитным покрытием // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14, № 3. С. 253-264. DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.3.21.
