Априорные оценки положительной вещественной или мнимой части обобщенной аналитической функции

Климентов С. Б.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 4.С.50-57.

Аннотация:
Обозначим \(D=D_z=\{z : |z|<1\}\) единичный круг комплексной \(z\)-плоскости, \(\Gamma= \partial D\). Хорошо известно следующее свойство гармонических функций. Если вещественная функция \(U(z)\in C(\overline D)\) гармонична в \(D\), \(U(z) |_{z\in \Gamma} \geq K = {\rm const}>0\), то \(U(z) \geq K\) для любого \( z \in \overline D\). Предмет настоящей работы - обобщение этого свойства на вещественную (мнимую) часть решения эллиптической в \(D\) системы \( \partial_{\bar z} w- q_1(z) \partial_z w - q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w+B(z) \overline w=0, \) где \(w=w(z)=u(z)+iv(z)\) - искомая комплексная функция, \(\partial _{\bar z}=\frac 12 \big(\frac{\partial}{\partial x }+ i \frac{\partial}{\partial y}\big)\), \(\partial _{z}=\frac12 \big(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\big)\) - производные в смысле Соболева, \(q_1(z)\) и \(q_2(z)\) - заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы \( |q_1(z)| + |q_2(z)| \leq q_0 =  {\rm const}<1\), \(z\in \overline D\), \(A(z),\,B(z)\in L_p(\overline D)\), \(p>2\), - также заданные комплексные функции.

Ключевые слова: эллиптическая система первого порядка, обобщенная аналитическая функция

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы