 |
 |
ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807 | |
 |
 |
 |
 |
 |
Войти | ||
КонтактыАдрес: Россия, 362025, Владикавказ,
|
Уважаемые авторы, просим обратить внимание! Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции. DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского
Костин А. В.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 4.С.58-67.
Аннотация:
Согласно теореме Птолемея, у четырехугольника, вписанного в окружность на евклидовой плоскости, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. Эта теорема имеет различные обобщения. На плоскости в одном из обобщений вместо четырехугольника рассматривается вписанный шестиугольник. Соответствующее утверждение, связывающее длины сторон и больших диагоналей вписанного шестиугольника, называют теоремой Птолемея для шестиугольника или теоремой Фурмана. Теорема Кейси является другим обобщением теоремы Птолемея. В ней вместо четырех точек, лежащих на некоторой фиксированной окружности, рассматриваются четыре окружности, касающиеся этой окружности, а вместо длин сторон и диагоналей - длины отрезков касательных к окружностям. Если кривизна плоскости Лобачевского равна минус единице, то в аналогах теорем Птолемея, Фурмана и Кейси для вписанных в окружность многоугольников или окружностей, касающихся одной окружности, длины соответствующих отрезков, деленные на два, будут стоять под знаками гиперболических синусов. В данной работе доказываются теоремы, обобщающие на плоскости Лобачевского и теорему Кейси, и теорему Фурмана. На плоскости Лобачевского рассматриваются шесть окружностей, касающихся некоторой линии постоянной кривизны, и для длин отрезков касательных доказываются утверждения, обобщающие эти теоремы. Если в дополнение к длинам отрезков геодезических касательных рассматривать длины дуг касательных орициклов, то между евклидовыми и гиперболическими соотношениями можно установить соответствие. Наиболее наглядно это можно продемонстрировать, если взять набор орициклов, касающихся одной линии постоянной кривизны на плоскости Лобачевского. В этом случае если длина отрезка геодезической касательной к орициклам равна \(t\), то длина "орициклической" касательной к ним равна \(sh\frac {t}{2}\). Значит, если геодезические касательные связаны "гиперболическим" соотношением, то "орициклические" касательные будут связаны соответствующим "евклидовым" соотношением.
Ключевые слова: теорема Птолемея, теорема Кези, теорема Фурмана, плоскость Лобачевского, орицикл, эквидистанта
Язык статьи: Русский
Загрузить полный текст
 Образец цитирования:
Костин А. В. Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского // Владикавк. матем. журн. 2023. Т. 25, вып. 4. C.58-67.
DOI 10.46698/d0031-4733-6473-n ← Содержание выпуска |
|
| |
 |
||
| © 1999-2024 Южный математический институт | |||