Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/p2633-9872-2872-p
Периодические траектории нелинейных моделей кольцевых генных сетей
Минушкина Л. С.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 4.С.80-90.
Аннотация: Статья посвящена качественному анализу двух динамических систем, моделирующих функционирование кольцевых генных сетей. Уравнения трехмерной динамической системы содержат монотонно убывающие гладкие функции, описывающие отрицательные связи. Шестимерная динамическая система состоит из трех уравнений с монотонно убывающими гладкими функциями и из трех уравнений с монотонно возрастающими гладкими функциями, характеризующими отрицательные и положительные связи. В обеих моделях процесс деградации описан нелинейными гладкими функциями. С целью локализации циклов для обеих систем построены инвариантные области. В данной работе показано, что каждая из двух систем имеет единственную стационарную точку в инвариантной области, и найдены условия, при которых эта точка является гиперболической. Основной результат настоящей работы - доказательство существования цикла в инвариантной подобласти, из которой траектории не могут перейти в другие подобласти, полученные при дискретизации фазового портрета. Циклы трехмерной и шестимерной систем ограничивают двумерные инвариантные поверхности, на которых лежат траектории данных динамических систем.
Ключевые слова: кольцевая генная сеть, математические модели, положительные и отрицательные связи, инвариантные области и поверхности, циклы, нелинейная деградация
Образец цитирования: Минушкина Л. С. Периодические траектории нелинейных моделей кольцевых генных сетей // Владикавк. матем. журн. 2023. Т. 25, вып. 4. C.80-90. DOI 10.46698/p2633-9872-2872-p
1. Колесов А. Ю., Розов Н. Х., Садовничий В. А. Периодические решения типа бегущих
волн в кольцевых генных сетях // Изв. РАН. Сер. мат. 2016. Т. 80, № 3. С. 67-94.
2. Волков Е. И., Журов Б. А. Динамическое поведение изолированного
репрессилятора с обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2013. Т. 56, № 10. С. 774-786.
3. Hastings S., Tyson J., Webster D. Existence of periodic solutions for negative
feedback cellular control system // J. Differ. Equ. 1977. Vol. 25. P. 39-64. DOI: 10.1016/0022-0396(77)90179-6.
4. Glass L., Pasternack J. S. Stable oscillations in mathematical models of biological control systems //
J. Math. Biology. 1978. Vol. 6. P. 207-223. DOI: 10.1007/BF02547797.
5. Голубятников В. П., Минушкина Л. С. О единственности цикла в одной модели кольцевой генной сети //
Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 1. С. 95-103.
6. Golubyatnikov V. P., Minushkina L. S. On uniqueness and stability of a cycle in one gene network //
Sib. Electr. Math. Reports. 2021. Vol. 18, № 1. P. 464-473.
DOI: 10.33048/semi.2021.18.032.
7. Голубятников В. П., Иванов В. В. Единственность и устойчивость цикла в трехмерных блочно-линейных
моделях кольцевых генных сетей // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. 2018. Т. 18, № 4. С. 19-28.
DOI: 10.33048/pam.2018.18.402.
8. Чумаков Г. А., Чумакова Н. А. Гомоклинические циклы в одной модели генной сети //
Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 14. C. 97-106.
9. Elowitz M. B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators //
Nature. 2000. Vol. 403. P. 335-338. DOI: 10.1038/35002125.
10. Потапов И. С., Волков Е. И. Анализ динамических режимов взаимодействующих синтетических
генетических репрессиляторов // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2, № 4. С. 403-418.
DOI: 10.20537/2076-7633-2010-2-4-403-418.
11. Гайдов Ю. А., Голубятников В. П. О некоторых нелинейных динамических системах,
моделирующих несимметричные генные сети // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2007. Т. 7, № 2. С. 19-27.
12. Казанцев М. В. О некоторых свойствах графов доменов динамических систем //
Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18, № 4. С. 42-48.
DOI: 10.17377/sibjim.2015.18.405.
13. Glass L. Combinatorial and topological methods in nonlinear chemical kinetics //
J. Chem. Phys. 1975. Vol. 63, № 4. P. 1325-1335.
DOI: 10.1063/1.431518.
14. Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия // Теория автоматического
регулирования (линеаризованные задачи). М.: АН СССР, 1949. С. 41-79.
15. Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. 176 с.
16. Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических
систем / Пер. с англ. А. Кононенко. М.: Изд-во <<Факториал>>, 1999. 768 с.
17. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
18. Аюпова Н. Б., Голубятников В. П., Минушкина Л. С. Об инвариантных поверхностях
фазовых портретах моделей кольцевых генных сетей // Сиб. журн. индустр. матем. 2022. Т. 25, № 4. С. 5-13.
19. Кириллова Н. Е. Об инвариантных поверхностях в моделях генных сетей //
Сиб. журн. индустр. матем. 2020. Т. 23, № 4. С. 69-76.
DOI: 10.33048/SIBJIM.2020.23.405.
20. Минушкина Л. С. Фазовые портреты блочно-линейной динамической системы
в одной модели кольцевой генной сети // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 2. С. 34-46.
DOI: 10.25587/SVFU.2021.60.20.003.
21. Golubyatnikov V. P., Minushkina L. S. On geometric structure of phase portraits
of some piecewise linear dynamical systems // Tbilisi Math. J. 2021. Vol. 7, Special Issue. P. 49-56.
22. Golubyatnikov V. P., Ayupova N. B., Kirillova N. E. On oscillations in a gene network
with diffusion // Mathematics. 2023. Vol. 11, № 8, 1951.
DOI: 10.3390/math11081951.
23. Golubyatnikov V. P., Kirillova N. E. On cycles in models of functioning
of circular gene networks // J. Math. Sci. 2020. Vol. 246, № 6. P. 779-788.
DOI: 10.1007/s10958-020-04780-7.
