Аннотация: Одна из основных проблем для гамильтониана модели Поттса - это описание всех отвечающих ему предельных мер Гиббса. При низких температурах каждому основному состоянию соответствует одна мера Гиббса. Следовательно, для модели Поттса изучение множества основных состояний также является актуальным. Работа посвящена изучению слабо периодических основных состояний для модели Поттса с внешним полем и счетным множеством значений спина на дереве Кэли. Известно, что слабо периодические основные состояния зависят от выбора нормального делителя группового представления дерева Кэли. Также известно, что не существует нормального делителя нечетного индекса, поэтому в данной работе рассматривается нормальный делитель индекса два. В данной работе для модели Поттса с внешним полем и счетным множеством значений спина на дереве Кэли произвольного порядка описаны множества слабо периодических основных состояний, соответствующих любым нормальным делителям индекса два группового представления дерева Кэли. При этом доказано, что эти множества включают в себе периодические основные состояния, соответствующие нормальным делителям индекса два, которые были известны ранее. Также найдены множества всех слабо периодических (непериодических) основных состояний в случае нормального делителя индекса два, т.~е. найдены множества новых классов основных состояний.
Ключевые слова: дерево Кэли, модель Поттса с внешним полем, слабо периодические основные состояния
Образец цитирования: Рахматуллаев М. М., Расулова М. А. Описание слабо периодических основных состояний для модели Поттса с внешним полем и счетным множеством значений спина на дереве Кэли // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 4. C. 103-119. DOI 10.46698/w5733-9015-3471-i
1. Синйа Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. М.: Наука, 1980.
2. Minlos R. A. Introduction to Mathematical Statistical Physics. Amer. Math. Soc., 1999. 103 p. (Univ. Lect. Ser. Vol. 19).
3. Ганиходжаев Н. Н., Розиков У. А. О периодических гиббсовских распределениях модели Изинга на решетке Бете // Узбек. матем. журн. 1995. № 4. С. 8-18.
4. Martin J., Rozikov U. А., Suhov Y. A three state Hard-Core model on a Cayley tree //
J. Nonlin. Math. Phys. 2005. Vol. 12, № 3. P. 432-448. DOI: 10.2991/jnmp.2005.12.3.7.
5. Rozikov U. A. A constructive description of ground states and Gibbs measures for Ising model with two-step interactions on Cayley tree // J. Stat. Phys. 2006. Vol. 122, № 2. P. 217-235. DOI: 10.1007/s10955-005-8029-3.
6. Розиков У. А., Шоюсупов Ш. А. Меры Гиббса для модели SOS с четырьмя состояниями на дереве Кэли //
Теор. и матем. физика. 2006. Т. 149, № 1. С. 18-31. DOI: 10.4213/tmf3825.
7. Розиков У. А., Хакимов Р. М. Периодические меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли // Теор. и матем. физика. 2013. Т. 175, № 2. С. 300-312. DOI: 10.4213/tmf8423.
8. Расулова М. А. О периодических мерах Гиббса для модели Поттс–SOS на дереве Кэли //
Теор. и матем. физика. 2019. Т. 199, № 1. С. 134-141. DOI: 10.4213/tmf9588.
9. Розиков У. А, Рахматуллаев М. М. Слабо периодическиe основные состояния и меры Гиббса для модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Теор. и матем. физика. 2009. Т. 160, № 3. С. 507-516. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf6412.
10. Rahmatullaev M. M. Description of weak periodic ground states of Ising model with competing interactions on Cayley tree // Appl. Math. Inf. Science. 2010. Vol. 4, № 2. P. 237-251.
11. Ботиров Г. И., Розиков У. А. Модель Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли: контурный метод // Теор. и матем. физика. 2007. Т. 153, № 1. С. 86-97. DOI: 10.4213/tmf6123.
12. Расулова М. А., Рахматуллаев М. М. Периодические и слабо периодические основные состояния для модели
Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Матем. тр. 2015. Т. 18,
№ 2. С. 112-132. DOI: 10.17377/mattrudy.2015.18.207.
13. Рахматуллаев М. М. Cлабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса
с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Теор. и матем. физика. 2013. Т. 176,
№ 3. С. 477-493. DOI: 10.4213/tmf8530.
14. Рахматуллаев М. М., Расулова М. А. Существование слабо периодических основных состояний для модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Докл. АН РУз. 2013. № 3. С. 10-13.
15. Ganikhodjaev N. N., Rozikov U. A. The potts model with countable set of spin values on a cayley tree //
Lett. Math. Phys. 2006. Vol. 75. P. 99-109. DOI: 10.1007/s11005-005-0032-8.
16. Botirov G. I., Rakhmatullaev M. M. Ground states for Potts model with a countable set of spin values on a Cayley tree // Algebra, Complex Analysis and Pluripotential Theory. USUZCAMP 2017. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 264. Springer, 2018. P. 59-71. DOI: 10.1007/978-3-030-01144-4_5.
17. Ботиров Г. И., Каюмов У. У. Основные состояния модели Поттса с конкурирующими взаимодействиями
и счетным множеством значений спина на дереве Кэли // Теор. и матем. физика. 2021. Т. 209,
№ 2. С. 367-377. DOI: 10.4213/tmf10128.
18. Бабаев А. Б., Магомедов М. А., Муртазаев А. К., Кассан-Оглы Ф. А., Прошкин А. И. Фрустрации и фазовые переходы в трехвершинной модели Поттса на треугольной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // Письма в Журн. эксперим. и теор. физики. 2014. Т. 100, вып. 4. С. 242-246. DOI: 10.7868/S0370274X1416005X.
19. Kassan-Ogly F. A. One-dimensional 3-state and 4-state standard Potts models in magnetic field // Phase Transitions. 2000. Vol. 71, № 1. P. 39-55. DOI: 10.1080/01411590008228976.
20. Рахматуллаев М. М., Расулова М. А. Периодические основные состояния для модели Поттса с внешним полем и счетным множеством значений спина на дереве Кэли // Матем. заметки. 2022. Т. 112, № 1. С. 106-117. DOI: 10.4213/mzm13390.
21. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982. 288 с.
22. Rozikov U. A. Gibbs Measures on Cayley Trees. World Scientific, 2013. 404 p. DOI:10.1142/8841.
23. Ганиходжаев Н. Н. Групповое представление и автоморфизмы дерева Кэли // Докл. АН РУз. 1994. № 4. С. 3-5.
24. Rozikov U. A. On \(q\)-component models on Cayley tree: contour method // Lett. Math. Phys. 2005. Vol. 71. P. 27-38. DOI: 10.1007/s11005-004-5117-2.
