Том 6, Выпуск 1

Памяти Юрия Александровича Абрамовича
А. В. Бухвалов (Санкт-Петербург)

С середины 1960-х до середины 1970-х гг. на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупорядоченных пространств, который возглавлял Борис Захарович Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Леонида Витальевича Канторовича - блестящего математика и экономиста, заложившего основы теории этих пространств в конце 1930-х гг. Участие в этом семинаре осталось как самое яркое воспоминание о совместной работе сплоченной группы людей, преданных своей деятельности. Старшие участники этого семинара (Б. З. Вулих, А. И. Векслер, Д. А. Владимиров, Г. Я. Лозановский) привили многочисленной тогда молодежи идеалы честного служения чистой науке, высокой требовательности к себе и к другим, полной самоотдачи.

Юрий Александрович Абрамович (1945-2003), принадлежавший, как и автор этих строк, к младшему поколению участников семинара, реализовал всей своей жизнью принципы преданности избранному разделу науки, заложенные в те годы. Я познакомился с Юрием, когда в 1967/1968 учебном году был слушателем спецкурса по основам теории полуупорядоченных пространств, который впервые читался на матмехе триумвиратом, состоящим из Бориса Захаровича Вулиха, Григория Яковлевича Лозановского и Дениса Артемьевича Владимирова. В следующие годы серию продолжающихся спецкурсов по этой тематике уже читал один Г. Я. Лозановский. Юра был старшим и самым активным слушателем, во многом формировавшим своим спросом уровень чтения спецкурса.

Личность и талант Григория Яковлевича оказали наибольшее влияние на формирование интересов и у Юры и у меня. Теория полуупорядоченных пространств принадлежит одновременно алгебре (с ответвлениями в математическую логику и теоретико-множественную топологию) и функциональному анализу. Так получилось, что до середины 1960-х гг. основные исследования ленинградской школы касались в основном первого направления. Это же направление стало важнейшим и для сформировавшейся позднее стараниями Глеба Павловича Акилова новосибирской школы. Новаторская роль Григория Яковлевича заключалась в том, что он поставил и сам активно реализовывал задачу синтеза теории векторных решеток с теорией банаховых пространств и операторов в них. Одновременно он осуществлял синтез абстрактной теории банаховых решеток с теорией банаховых пространств измеримых функций. Здесь он находился под влиянием пионерной серии статей нидерландских математиков В. Люксембурга и А. Заанена, содержание которых он пересказывал в спецкурсе, как только выпуски математического журнала Нидерландской академии наук попадали в БАН. Однако в своих результатах он пошел много дальше, что было связано с тем, что он преследовал не просто абстрактные цели построения замкнутой теории, а видел многочисленные приложения за рамками полуупорядоченных пространств. Третьей составляющей его занятий была теория интерполяционных пространств, где он отталкивался от классической работы А. Кальдерона по комплексному методу интерполяции и собственных результатов, полученных в рамках второго из упомянутых синтезов. Это была потрясающая перспектива будущей деятельности, в которую мы с Юрой сразу влюбились. На меня также подействовали результаты Д. А. Владимирова и Г. Я. Лозановского по интегральным операторам.

Формально Григорий Яковлевич не был руководителем ни у Юры, ни у меня (к сожалению, он работал в университете только совместителем). Аспирантуру мы оба кончали у Б. З. Вулиха. В общении Борис Захарович был холодноват (от чего, как выяснилось позже, страдал сам), но он был для нас образцом честности и чистоплотности в науке. Активно мы начали общаться с Юрой весной 1970 г. Я тогда кончал четвертый курс, а Юра был уже аспирантом. Я получил свои первые результаты и отдал Юре толстенную рукопись, посвященную в основном локально выпуклой топологии равномерной сходимости на интервалах дуальной векторной решетки. Ошибок, сколько я помню, не было, но большинство результатов оказались либо известными, либо легко получающимися из известных. В связи с этим я впервые побывал у Юры дома в дальней части Васильевского острова. Юра очень деликатно выразил свои сожаления по поводу "гибели" многих моих результатов. Впрочем, на одну из первых моих статей результатов хватило. С тех пор я часто бывал у Юры дома. Его отец был крупным инженером-проектировщиком заводов в целлюлозно-бумажной отрасли, а маму, Беллу Юрьевну, я до сих пор тепло вспоминаю за ее доброжелательность. Летом мы приезжали друг к другу на дачу - я жил в Горьковской, а Юрины родители снимали дачу в Репино, позже он жил в Зеленогорске у родственников своей жены Аллы - все это на одной линии железной дороги.

Новосибирск, август 1965 г. Первая школа по теории операторов в функциональных пространствах. Слева направо: В. А. Гейлер, А. В. Бухвалов, Л. П. Яновский, Ю. А. Абрамович

В 1969 г. Юра поступал в аспирантуру матмеха ЛГУ. На вступительном экзамене по истории КПСС почему-то зашла речь о недавних событиях в Чехословакии, и Юра употребил оборот "оккупация Чехословакии советскими войсками". После этого разговор на экзамене уже шел только о том, какие "вражеские" радиостанции он слушает. Дело кончилось оценкой "удовлетворительно" и целевым распределением в Архангельский лесотехнический институт. Неленинградское распределение сильно тяготило Юру все годы обучения в аспирантуре. В Архангельск пришлось поехать на долгие 5 лет, но об этом позже.

Со студенческих и аспирантских лет идет его дружба и заинтересованное взаимодействие со своими ровесниками Владимиром Ароновичем Гейлером из Саранска (который кончал аспирантуру в Ленинграде) и Александром Александровичем Меклером - замечательными скромными людьми и сильными математиками.

Тематика кандидатской работы определила в значительной мере его последующие исследования. Г. Я. Лозановский поставил задачу описания известных свойств банаховых решеток с помощью похожих на эти свойства условий, но выполненных лишь для дизъюнктных элементов или последовательностей осколков фиксированных элементов (тогда разности будут дизъюнктными). Эта задача была решена Юрием для основных порядково-топологических свойств банаховых решеток и для понятия $AM$-пространства.

Защитив в 1972 г. кандидатскую диссертацию, Юра поехал в Архангельск уже как сложившийся ученый и, как вскоре выяснилось, человек, обладающий свойствами лидера, умеющий притягивать к работе в своей области других математиков. Юре повезло - Архангельский лесотехнический институт почему-то оказался местом "ссылки" для многих талантливых математиков. Одновременно с Юрой там работали воспитанники воронежский школы функционального анализа Леонид Петрович Яновский и Ефим Посицельский. И тот и другой до знакомства с Юрой с полуупорядочением дела не имели. Юра вовлек их в совместную работу, которая привела к ряду интересных результатов. Отмечу, что Леня, переехавший через несколько лет обратно в Воронеж, вообще переключился с теории дифференциальных уравнений на полуупорядоченные пространства. В конце пребывания Юры в Архангельске туда также по распределению на выселки приехал из Ленинграда Борис Симонович Цирельсон - математик, чьим именем уже было названо банахово пространство, давшее контрпример на предположение Й. Линденштраусса. Боря к полуупорядочению относился со скепсисом гения, но всегда охотно и добросовестно брался за решение любых вопросов окружающих. Учитывая стопроцентную пробивную силу Бори, это было большим подспорьем в архангельской изоляции.

Григорий Яковлевич приучил всех нас каждую неделю посещать выставку новых поступлений в БАН. Обычно мы старались делать это по вторникам (академический день, когда было меньше народа - никто из нас не был допущен в академию, поэтому требовалось немного нахальства). Поход обычно выливался в многочасовое обсуждение математических новостей и новых задач. В Архангельске Юра остро переживал оторванность от этого общего действа.

Архангельский период можно отнести к работе над геометрическими свойствами банаховых решеток. Весной 1974 г., находясь на ФПК в Москве, Юра свел дружбу с молодым польским математиком Пшемеком Войтащиком, находившемся на стажировке в МИАН. Впоследствии Пшемек стал выдающимся специалистом по теории банаховых пространств. Интересно, что и Пшемека Юра вовлек в полуупорядоченную деятельность, написав с ним совместную статью. Никогда больше Пшемек в этой области не работал.

В начале 1975 года я получил предложение стать редактором нового (второго) издания монографии Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова "Функциональный анализ в нормированных пространствах". Теперь книга позиционировалась как учебник, и требовались значительные изменения, связанные с необходимостью осовременить изложение. Эта работа возлагалась на меня (по некоторым специальным разделам были привлечены ученики Леонида Витальевича старшего поколения - И. К. Дауговет и В. П. Ильин). В результате название книги укоротилось до "Функциональный анализ" и приблизительно треть книги была либо переписана, либо написана заново. В тот момент я только что защитил кандидатскую и, хотя имел репутацию человека не сидящего подолгу перед пустым листом бумаги, безусловно как молодой автор сам нуждался в научном редакторе. Такового по планам издательства "Наука" уже не предполагалось. Юра, находясь в Архангельске, взял на себя работу по проверке всего мной написанного. Он нашел массу оплошностей и без его участия книга бы не получила того успеха, который она имела (книга была переведена на английский, французский и итальянский языки; в этом, конечно, заслуга Канторовича, получившего в 1975 г. нобелевскую премию, но в том, что ошибки и даже опечатки почти отсутствовали - наша заслуга).

В 1976 г. в результате трагической врачебной ошибки в 38 лет скончался Григорий Яковлевич Лозановский. Мы лишились не только интеллектуального лидера, но и близкого друга, с которым много работали. Необходимо было быстро повзрослеть. У Юры этот период осложнился тем, что вернувшись в Ленинград из Архангельска он не смог найти преподавательскую работу. Отец устроил его старшим научным сотрудником в отраслевое НИИ. Кстати, там же работал в это время Е. Д. Глускин, он был младше и только что придумал свой классический результат о норме проектора. Юра не мог и не хотел вписываться в отраслевую науку. Проработав в должности один срок, он подал заявление на выезд в Израиль и перешел в состояние "отказника". После некоторого периода безработицы ему удалось устроиться учителем математики в ПТУ напротив окон его дома. Контингент учащихся был грустный, но Юра как творческий человек не мог обойтись без нового и здесь: у него появились методические публикации в журнале "Математика в школе".

В течение почти десятилетнего периода безнадежного ожидания он привлек к совместной деятельности в области полуупорядоченных пространств двух вполне сложившихся математиков, выходцев из знаменитого семинара В. П. Хавина - Н. К. Никольского по комплексному анализу: Аркадия Килмановича Китовера (его коллегу по нелюбимому отраслевому НИИ) и Евгения Львовича Аренсона. Они начали совместные исследования операторов, сохраняющих дизъюнктность - эта проблематика стала основной в 1990-х гг. Это очень трудная техническая область, где каждый шаг не приносит великих лавров, но дается с большим трудом - неважно, доказательство или контрпример. Аркадий стал основным другом и научным товарищем после отъезда в США. Юра был инициатором возобновления работы городского семинара по теории полуупорядоченных пространств в Ленинграде - формально под моим руководством, так как я мог предоставить "крышу" в ЛФЭИ, но я к этому моменту уже утерял интерес к этой тематике, переключившись на экономику и управление, а позже - финансы. Я не мог отказать Юре, так как для него возможность общения была жизненно необходима.

В 1988 г. Юра получил разрешение на выезд и через некоторое время оказался в Purdue University at Indianapolis в США. Его пригласил туда Роко Алипрантис, завоевавший к тому моменту положение лидера американского полуупорядочения. Роко, сам в прошлом греческий эмигрант, принял близко к сердцу Юрины проблемы. В частности, пока у Юры не было машины, он возил его на работу в кампус. Оба, Роко и Юра - одновременно ярко выраженные лидеры и люди, желающие и умеющие работать в группе. Эта комбинация оказалась исключительно счастливой для последнего периода творческой работы. Конечно, подстегивающую роль играла также необходимость побыстрее получить постоянную позицию и стать полным профессором, что произошло весной 1993 г. Юра активно включился в математическую жизнь в США и по всему миру.

В США у Юры впервые возникла возможность руководства аспирантами. Владимир Троицкий приехал в США из Новосибирска, где он работал с С. С. Кутателадзе и А. Г. Кусраевым в области нестандартного анализа. Под Юриным влиянием он переключился на изучение инвариантных подпространств и спектральной теории операторов в банаховых решетках, защитив диссертацию в 1999 г. в Иллинойском университете.

Капри, сентябрь 1992 г. Fifth Meeting on Real Analysis and Measure Theory. Слева направо: Роко Алипрантис, В. В. Бухвалова, А. В. Бухвалов, Ю. А. Абрамович.

Важным вкладом Юры стало основание публикуемого издательством Kluwer академического журнала, посвященного полуупорядочению, получившего название "Positivity". Юра был одним из главных инициаторов и энтузиастов. Главным редактором стал Энтони Викстед, его товарищ по работам над операторами, сохраняющими дизъюнктность. Вокруг журнала и его регулярных (раз в два года) конференций сконцентрировалась теперь международная деятельность в области полуупорядочения.

В 1990-х гг. я виделся с Юрой регулярно на конференциях по "Действительному анализу и теории меры" в Италии (Капри, Искья). Последняя наша встреча состоялась на первой конференции, организованной журналом "Positivity". Это было в июне 1998 г. в кампусе METU неподалеку от Анкары (Турция). Конференция была посвящена памяти Пая Хюисманса, близкого нам лично и по возрасту представителя нидерландской школы, чрезвычайно преданного корпоративному духу полуупорядочения. В своем докладе я напомнил также о еще более ранней нашей потере - Григории Яковлевиче Лозановском, сказав, что трудно даже предположить, какое развитие получили бы дальнейшие исследования, если бы не эти безвременные утраты. Кто же знал, что всегда спортивный и подтянутый Юра станет нашей следующей утратой.

METU (Турция), июнь 1998 г. International Meeting "Positivity and Its Applications". Слева направо: А. В. Бухвалов, Ю. А. Абрамович.

Юра, как всегда, был энергичен и обаятелен. Он мгновенно привлек внимание Семейл Улген из METU, которая вскоре поступила сначала в магистратуру, а потом и в аспирантуру в Индианаполисе. К сожалению, из-за тяжелой болезни Юра не смог завершить руководство диссертацией, которая также предполагалась в области изучения инвариантных подпространств.

Еще на конференции на Искье в 1997 г. Юра жаловался на постоянные боли в спине. Диагноз ему никак не могли поставить, а когда его все-таки поставили в июле 1999 г., он оказался беспощаден - множественная меланома, неизлечимая и быстро протекающая форма рака. Юре сделали уникальную операцию, и он весь остаток сил посвятил завершению последнего труда своей жизни, которым стали два тома, изданные в 2002 г. Американским математическим обществом: An Invitation to Operator Theory и Problems in Operator Theory (совместно с Роко Алипрантисом). Эти книги обращены к молодежи, которая захочет заниматься теми областями функционального анализа, которые так любил Юра. Тяжело больной он еще успел увидеть их напечатанными. Юры не стало 5 февраля 2003 г.