Аннотация: Ставится вопрос о явной алгебраической записи полиномов Бернштейна по степеням независимой переменной. Кратко обсуждается общая постановка задачи на произвольном отрезке \([a,b]\). Для полноты картины напоминаются формулы Вигерта, действующие для коэффициентов полиномов Бернштейна на стандартном отрезке \([0,1]\). В центре внимания сейчас другой случай - симметричного отрезка \([-1,1]\), что представляет несомненный интерес для теории аппроксимации. В работе найдены выражения, регулирующие образование коэффициентов полиномов Бернштейна на \([-1,1]\). Для интерпретации ответа потребовалось ввести новые числовые объекты - специальные "трапеции Паскаля". Они строятся аналогично классическому треугольнику по своим "начальным" и "краевым" условиям. С трапециями Паскаля связаны разнообразные соотношения, во многом обобщающие привычные комбинаторные тождества. В работе проведено систематическое исследование подобных свойств; составлена сводка основных формул. Полученные результаты находят применение при изучении поведения коэффициентов полиномов Бернштейна на \([-1,1]\). Так, например, оказывается, что есть универсальная связь двух коэффициентов \(a_{2m,m}(f)\) и \(a_{m,m}(f)\), действующая при всех \(m\in\mathbb{N}\) для любой функции \(f\in C[-1,1]\). В итоге установлено существенное отличие картины на \([-1,1]\) от случая стандартного отрезка \([0,1]\). Намечен ряд перспективных тем для дальнейших исследований, часть из которых активно проводится в последнее время.
Образец цитирования: Петросова М. А., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторные соотношения // Владикавк. мат. журн. 2019. Т. 21,
вып. 3. С. 62-86.
DOI 10.23671/VNC.2019.3.36462
1. Lorentz G. G. Bernstein Polynomials. Toronto: Univ. of Toronto Press, 1953. x+130 p.
2. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Учебное пособие к спецкурсу. Л.:
ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990. 64 c.
3. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.-Л: ГИТТЛ, 1949. 688 c.
4. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. М.: ГИФМЛ, 1959. 212 c.
5. Davis P. J. Interpolation and Approximation. N.Y.: Dover, 1975. xvi+394 p.
6. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer-Verlag, 1993. x+450 p.
7. Phillips G. M. Interpolation and Approximation by Polynomials. N.Y.-Berlin-Heidelberg: Springer, 2003. xiv+312 p.
8. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Полиномы Бернштейна: старое и новое //
Мат. форум. Т. 8. Ч. 1. Исследования по математическому анализу. Владикавказ:
ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 126-175. (Итоги науки. Юг России).
9. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Правило склеивания для полиномов
Бернштейна на симметричном отрезке // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер.
Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 288-300. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-288-300.
10. Wigert S. Reflexions sur le polynome d'approximation
\(\sum_{\nu=0}^n\binom{ n }{\nu}\varphi\left(\frac{\nu}{n}\right)x^\nu (1-x)^{n-\nu}\) // Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 1927. Bd. 20, Hafte 2. S. 1-15.
11. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 c.
12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. 704 c.
13. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. О поведении коэффициентов полиномов Бернштейна при алгебраической записи на стандартном отрезке // Материалы науч. конф. Герценовские чтения-2015. Некоторые актуальные проблемы современной математики и мат. образования. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2015. С. 115-121.
14. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Явные выражения для коэффициентов полиномов Бернштейна при алгебраической записи на симметричном отрезке //
Материалы науч. конф. Герценовские чтения-2015. Некоторые актуальные проблемы современной математики и мат. образования. СПб.: изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2015. С. 121-124.
15. Петросова М. А., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Случай симметричного отрезка в теории классических полиномов Бернштейна // Системы компьютерной математики и их приложения.
Вып. 15. Материалы XV Междунар. науч. конф. Смоленск: СмолГУ, 2014. С. 184-186.
16. Петросова М. А., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Комбинаторные соотношения, связанные с полиномами Бернштейна на симметричном отрезке // Системы компьютерной математики и их приложения.
Вып. 17. Материалы XVII Междунар. науч. конф. Смоленск: СмолГУ, 2016. С. 177-182.
17. Stafney J. D. A permissible restriction on the coefficients
in uniform polynomial approximation to \(C[0,1]\) // Duke Math. J. 1967. Vol. 34, № 3. P. 393-396.
18. Roulier J. A. Permissible bounds on the coefficients
of approximating polynomials // J. Approx. Theory. 1970. Vol. 3, № 2. P. 117-122.
19. Гурарий В. И., Мелетиди М. А. Об оценках коэффициентов полиномов, аппроксимирующих непрерывные функции //
Функциональный анализ и его прил. 1971. Т. 5, вып. 1. С. 73-75.
20. Norlund N. E. Vorlesungen uber Differenzenrechnung. Berlin: Springer Verlag, 1924. ix+551 p.
21. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Новые исследования, связанные с алгебраической записью полиномов Бернштейна на симметричном отрезке // Системы компьютерной математики и их приложения. Вып. 19. Материалы XIX Междунар. науч. конф. Смоленск: СмолГУ, 2018. С. 336-347.
22. Feinsilver P., Kocik J. Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices // Recent Advances in Applied Probability / Eds.: Baeza-Yates R., Glaz J., Gzyl H., Husler J., Palacios J. L. Boston, MA:
Springer, 2005. P. 115-141.
23. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Миронова В. А. Анализ спектра
случайных симметрических булевых матриц // Матем. вопр. криптогр. 2013. Т. 4, вып. 1. С. 59-76. DOI: 10.4213/mvk73.
24. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Миронова В. А. Многочлены Кравчука и их применения в задачах криптографии и теории кодирования // Матем. вопр. криптогр. 2015. Т. 6, вып. 1. С. 33-56. DOI: 10.4213/mvk150.
