Аннотация: Статья является продолжением серии работ авторов, посвященной изучению связи между закономерностями роста целой функции и характером распределения ее корней. Исследуется асимптотическое поведение целой функции конечного нецелого порядка с последовательностью отрицательных корней, имеющей предписанные нижнюю и верхнюю плотности. Особое внимание уделено случаю нулевой нижней плотности корней. Даны точные оценки для индикатора и нижнего индикатора такой функции. Описаны углы на комплексной плоскости, в которых эти характеристики тождественно равны нулю. В некоторых специальных ситуациях указаны явные формулы для вычисления индикаторов. Используемые термины - обычные плотности последовательности корней - просты и наглядны в отличие от многих типичных для теории роста целых функций сложных интегральных конструкций, содержащих считающую функцию корней. Результаты применяются к известной задаче о наименьшем типе целой функции порядка \(\rho\in(0,+\infty)\setminus\mathbb{N}\) с корнями на луче. Эта задача достаточно полно изучена лишь в случае \(\rho\in(0,1)\). При \(\rho>1\) не известен точный закон, выражающий наименьший возможный тип такой целой функции через плотности ее корней. Для упомянутой экстремальной величины найдена новая двусторонняя оценка, действующая на всем множестве нецелых положительных значений параметра \(\rho\) и усиливающая известные ранее оценки А. Ю. Попова (2009 г.). Сформулирована гипотеза относительно поведения экстремального типа вблизи целых значений \(\rho\). Изложение дополнено кратким обзором классических результатов Ж. Валирона, Б. Я. Левина, А. А. Гольдберга и недавних продвижений из работ А. Ю. Попова и авторов, напрямую связанных с заданным направлением исследования. Очерчен круг перспективных задач по затронутой тематике.
Ключевые слова: целая функция, индикатор, нижний индикатор, тип целой функции, верхняя и нижняя плотности корней
Образец цитирования: Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. Оценки индикаторов целой функции с отрицательными корнями // Владикавк. мат. журн. 2020. Т. 22, вып. 3. С. 30-46.
DOI 10.46698/g8758-9884-5440-f
1. Коробейник Ю. Ф. Избранные труды (в 4-х томах). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011-2014.
2. Lindel o f E. Me moire sur la the orie des fonctions entie res de genre fini //
Acta Soc. Sci. Fennicae. 1902. Vol 31, № 1. P. 1-79.
3. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre nul et d'ordre fini et en
particulier les fonctions a correspondence regulier //
Annales de la Faculte des Scinces de Toulouse:
Mathematiques, Ser. 3. 1913. Vol. 5. P. 117-257.
4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.
5. Boas R. P. Entire Functions. N.Y.: Acad. Press, 1954.
6. Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. Точные оценки асимптотических характеристик роста целых функций
с нулями на заданных множествах // Фундам. и прикл. матем. 2018. Т. 22, № 1. С. 51-97.
7. Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б.
О наименьшем возможном типе целых функций порядка \(\rho\in(0,1)\) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. Мат. 2011. Т. 75, № 1. С. 3-28.
DOI: 10.4213/im4104.
8. Попов А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке \(\rho<1\) канонических произведений
с положительными нулями заданной верхней \(\rho\)-плотности //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матемематика. Механика. 2005. № 1. С. 31-36.
9. Шерстюков В. Б. Минимальное значение типа целой функции порядка \(\rho\in(0,1)\),
все нули которой лежат в угле и имеют заданные плотности //
Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, № 1. С. 113-126.
10. Попов А. Ю. Развитие теоремы Валирона Левина о наименьшем возможном типе целой функции
с заданной верхней \(\rho\)-плотностью // Соврем. математика. Фундам. направления. 2013. Т. 49. С. 132-164.
11. Брайчев Г. Г. О нижнем индикаторе целой функции с корнями нулевой нижней плотности,
лежащими на луче // Мат. заметки 2020. Т. 107, № 6. С. 817-832.
DOI: 10.4213/mzm12504.
12. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники.
Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. Т. 85. М.: ВИНИТИ, 1991. \mbox С. 5-186.
13. Малютин К. Г., Кабанко М. В., Малютина Т. И. Интегралы и индикаторы субгармонических функций. I //
Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 272-303.
DOI: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-272-303.
14. Малютин К. Г., Кабанко М. В., Малютина Т. И. Интегралы и индикаторы субгармонических функций. II //
Чебышевский сб. 2019. Т. 20, № 4. С. 236-269.
DOI: 10.22405/2226-8383-2019-20-4-236-269.
15. Азарин В. С. Пример целой функции с заданными индикатором и нижним индикатором //
Мат. сб. 1972. Т. 89\,(131), № 4 (12). С. 541-557.
16. Азарин В. С. Об индикаторах целой функции и регулярности роста коэффициентов
Фурье логарифма ее модуля //
Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 1. С. 47-48.
17. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1987. (Encyclopedia Math. Appl. Vol. 27).
18. Кондратюк А. А., Фридман А. Н.
Предельное значение нижнего индикатора и оценки снизу
для целых функций с положительными нулями //
Укр. мат. журн. 1972. Т. 24, № 4. С. 488-494.
19. Кондратюк А. А., Фридман А. Н. О нижнем индикаторе целой функции нулевого рода
с положительными нулями // Укр. мат. журн. 1972. Т. 24. № 1. С. 106-109.
20. Попов А. Ю. О наименьшем типе целой функции порядка \(\rho\) с корнями заданной
верхней \(\rho\)-плотности, лежащими на одном луче //
Мат. заметки. 2009. Т. 85, № 2. С. 246-260. DOI: 10.4213/mzm4645.
21. Denjoy A. Sur les produits canoniques d'ordre infini //
J. Math. Pures Appl. 6e ser. 1910. Vol. 6. P. 1-136.
