1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Весовой индекс концентрации

Weight Index of Concentration

10.46698/y0305-5846-4678-h

15755

03 2025

27 1 21 35

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15755&SECTION_ID=618

Гайсин

А. М.

Gaisin

A. M.

gaisinam@mail.ru

Гайсин

Р. А.

rashit.gajsin@mail.ru

Институт математики с вычислительным центром \\ Уфимского федерального исследовательского центра РАН, РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112 Institute of Mathematics with Computing Centre of the Ufa Federal Research Center of the RAS, 112 Chernyshevsky St., Ufa 450008, Russi

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112 ,

В терминах весового индекса концентрации исследуется поведение функции \(|W(re^{i\theta})|^{-1}\) при \(\theta \to 0\), где \(W\) - четная целая функция экспоненциального типа, имеющая только вещественные нули. Этот вопрос актуален в ряде задач комплексного анализа, связанных с усиленной неполнотой (усиленной минимальностью) системы экспонент на семействе кривых, интерполяцией типа Павлова - Коревара - Диксона, аналитическим продолжением предельных функций последовательностей полиномов из экспонент. Этот круг задач восходит к следующей задаче А. Ф. Леонтьева, поставленной им в 1956 году: при каких условиях \(\sup_{\theta \ne 0, \pi} H(\theta) < \infty,\) где \(H(\theta)\) - индикатриса (индикатор) функции \(W^{-1}(\lambda)\), \(\lambda = re^{i\theta}\). В работах А. Ф. Леонтьева и Э. Байет были получены некоторые оценки для этого индикатора, однако они оказались очень грубыми. Для произвольных целых функций уточненного порядка И. Ф. Красичковым в 1965 году была доказана теорема, дающая ответ на вопрос А. Ф. Леонтьева. Как было показано, необходимым и достаточным условием конечности индикатора \(H(\theta)\) является конечность индекса концентрации последовательности \(\Lambda\) нулей целой функции \(W\), подсчитываемого через соответствующую функцию сравнения при данном уточненном порядке. Особый интерес представляет случай, когда последовательность \(\Lambda\) является интерполяционной. В этом случае, как показал Б. Берндсон, функцией сравнения служит некоторая вогнутая мажоранта \(\omega\) из класса сходимости. Однако эта функция (вес) не обязана иметь правильное изменение в бесконечности. Поэтому случай веса такого типа и рассматривается в настоящей статье. Основной результат: для того, чтобы весовой нижний индикатор \(H(\omega, \theta)\) функции \(W\) был равномерно ограничен по \(\theta \in (0, \pi)\) снизу, необходимо и достаточно, чтобы весовой индекс концентрации \(I_\Lambda(\omega, \mathbb{R})\) был конечен.

In terms of the concentration weight index, the behavior of the function \(|W(re^{i\theta})|^{-1}\) is investigated as \(\theta \to 0\), where \(W\) is an even entire function of exponential type that has only real zeros. This question is relevant in a number of problems of complex analysis related to the strongly nonspanning (strongly minimality) of a system of exponentials on a family of curves, Pavlov-Korevar-Dixon interpolation, and analytic continuation of limit functions of sequences of polynomials from exponentials. This circle of problems goes back to the following problem of A. F. Leontief posed in 1956: under what conditions \(\sup\nolimits_{\theta \ne 0, \pi} H(\theta) < \infty,\) where \(H(\theta)\) is the indicatrix (indicator) of the function \(W^{-1}(\lambda)\), \(\lambda = re^{i\theta}\). In the works of A. F. Leontief and A. Baillette, some estimates for this indicator were obtained, but they turned out to be very rough. For arbitrary entire functions of proximate order, I. F. Krasichkov in 1965 proved a theorem that answers A. F. Leontief's question. As was shown, a necessary and sufficient condition for the finiteness of the indicator \(H(\theta)\) is the finiteness of the concentration index of the sequence \(\Lambda\) of zeros of the entire function \(W\), calculated through the growth function for a given proximate order. Of particular interest is the case when the sequence \(\Lambda\) is an interpolation sequence. In this case, as shown by B. Berndtsson, the comparison function is some concave majorant from the convergence class. However, this function (i.e., the weight) does not have to have the regular variation at infinity. Therefore, this case is considered in the present paper. The main result: in order for the weight lower indicator \(H(\omega, \theta)\) of the function \(W\) to be uniformly bounded below, it is necessary and sufficient that the concentration weight index \(I_\Lambda(\omega, \mathbb{R})\) be finite.

целая функция нижний индикатор коиндикатриса максимальная плотность весовой индекс концентрации

entire function lower indicator coindicatrix maximum density weight index of concentration

Леонтьев А. Ф. О сходимости последовательности полиномов Дирихле // Докл. АН СССР. 1956. Т. 108, № 1. С. 23-26.

Leont’ev, A. F. On the Convergence of a Sequence of Dirichlet Polynomials, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1956, vol. 108, pp. 23-26. (in Russian). 2. Leont'ev, A. F. Posledovatel`nosti polinomov iz eksponent [Sequences of polynomials of exponentials], Moscow, Nauka, 1980, 384 p. (in Russian). 3. Levin, B. Ja. Raspredelenie kornej celyx funkcij [Distribution о f zeros of entire functions], Moscow, Gastexizdat, 1956, 632 p. 4. Krasichkov, I. F. Lower Bound for Entire Functions of Finite Order, Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 1965, vol. 6, no. 4, pp. 840-861. (in Russian). 5. Kondratyuk, A. A. Entire Functions with Positive Zeros That Have Finite Maximum Density, Teoriya funkcij, funkcional'nyj analiz i ih prilozheniya [Theory of functions, functional analysis and their applications], 1968, vol. 7, pp. 37-52. (in Russian). 6. Baillette, A. Approximation de Fonctions par des sommes d'Exponentielles, C.R. Acad. Sci., 1959, vol. 249, no. 23, pp. 2470-2471. 7. Baillette, A. Fonctions Approchables par des Sommes d'Exponentielles, Journal d'Analyse Mathematique, 1962, vol. 10, no. 2, pp. 91-115. DOI: 10.1007/BF02790304. 8. Polya, G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzeihen, Math. Z., 1929, vol. 29, pp. 549-640. 9. Bernstein, V. Lecons sur les Progres Recents de la Theorie des Series de Dirichlet, Paris, Gauthier-Villars, 1933, 320+xiv p. 10. Sherstyukov, V. B. Distribution of the Zeros of Canonical Products and Weighted Condensation Index, Sbornik: Mathematics, 2015, vol. 206, no. 9, pp. 1299-1339. DOI: 10.1070/SM2015v206n09ABEH004497. 11. Krasichkov, I. F. Convergence of Dirichlet Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 1966, vol. 7, no. 5, pp. 826-842. DOI: 10.1007/BF01044487. 12. Gaisin, A. M. On a Conjecture of Polya, Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1995, vol. 44, no. 2, pp. 281-299. DOI: 10.1070/IM1995v044n02ABEH001597. 13. Gaisin, A. M. Solution of the Polya Problem, Sbornik: Mathematics, 2002, vol. 193, no. 6, pp. 825-845. DOI: 10.1070/SM2002v193n06ABEH000659. 14. Gaisin, A. M. On a Theorem of Hayman, Siberian Mathematical Journal, 1998, vol. 39, no. 3, pp. 431-445. DOI: 10.1007/BF02673898. 15. Gaisin, A. M. Celye funkcii: osnovy klassicheskoj teorii s prilozheniyami po kompleksnomu analizu [Entire functions: fundamentals of classical theory with applications to research in complex analysis],Ufa, RIC BashGU, 2016, 160 p. (in Russian).

Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 с.

Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

Красичков И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. 1965. Т. 6, № 4. С. 840-861.

Кондратюк А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1968. Вып. 7. С. 37-52.

Baillette A. Approximation de fonctions par des sommes d'exponentielles // C.R. Acad. Sci. 1959. Vol. 249, № 23. P. 2470-2471. 7. Baillette A. Fonctions approchables par des sommes d'exponentielles // J. Anal. Math. 1962. Vol. 10, № 2. P. 91-115. DOI: 10.1007/BF02790304. 8. Polya G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzeihen // Math. Z. 1929. Vol. 29. P. 549-640. 9. Bernstein V. Lecons sur les Progres Recents de la Theorie des Series de Dirichlet. Paris: Gauthier-Villars. 1933. 320+xiv p. 10. Шерстюков В. Б. Распределение нулей канонических произведений и весовой индекс конденсации // Мат. сб. 2015. Т. 206, № 9. С. 139-180. DOI: 10.4213/sm8446. 11. Красичков И. Ф. О сходимости полиномов Дирихле // Сиб. матем. журн. 1966. Т. 7, № 5. С. 1039-1058. 12. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 2. С. 73-92. 13. Гайсин А. М. Решение проблемы Пойа // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 6. С. 39-60. DOI: 10.4213/sm659. 14. Гайсин А. М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 501-516. 15. Гайсин А. М. Целые функции: основы классической теории с приложениями по комплексному анализу. Уфа.: РИЦ БашГУ, 2016. 160 с.