1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) On Collectively \(\sigma\)-Levi Sets of Operators Совместно \(\sigma\)-Леви множества операторов 10.46698/y6929-3405-2251-o 15756 03 2025 27 1 36 43 https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15785&SECTION_ID=620 Емельянов Э. Ю. Emelyanov E. Yu. emelanov@math.nsc.ru Институт математики им. С. Л. Соболева, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. ак. Коптюга, 4 Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyga Ave., Novosibirsk 630090, Russia The Levi operators are operator abstractions of the Levy property of Banach lattices. Such operators have been studied recently by several authors. The present paper deals with the collective properties of the Levi operators of several kinds: \(\sigma\)-Levi operators; quasi c-\(\sigma\)-Levi operators; and quasi \(\sigma\)-Levi operators. A notion of collectively \(\sigma\)-Levi set generalizes the notion of a single \(\sigma\)-Levi operator to the families of operators. Working with families of sequences of elements of a vector lattice requires the notion of the collective order convergence. This notion that is introduced and studied in the present paper may have its own interest and further possible applications. Various relations of the collectively quasi \(\sigma\)-Levi sets to the collectively compact sets are investigated. The domination problem for the collectively quasi \(\sigma\)-Levi sets is studied. In this study a special notion of a set of operators dominated by another set of operators is used. Операторы Леви являются операторной абстракцией соответствующего свойства банаховых решеток, известного как свойство Леви. Операторы такого рода в последнее время стали объектом пристального внимания нескольких авторов. В настоящей статье нами рассмотрены так называемые совместные свойства операторов Леви некоторых типов, а именно \(\sigma\)-Леви операторы, квази с-\(\sigma\)-Леви операторы, а также квази \(\sigma\)-Леви операторы. Понятие совместно \(\sigma\)-Леви множества операторов распространяет понятие одного \(\sigma\)-Леви оператора на целое семейство таких операторов. При работе с семействами последовательностей, составленных из элементов векторной решетки, нам требуется понятие совместной порядковой сходимости. Это понятие, которое мы вводим и рассматриваем в данной статье, может представлять самостоятельный интерес и, возможно, даже имеет некоторые новые приложения в теории векторных решеток и теории операторов. В работе также исследуются вопросы существования различных взаимосвязей, которые возникают между множествами квази \(\sigma\)-Леви операторов и компактных операторов. Изучается вопрос мажорирования для совместно квази \(\sigma\)-Леви операторных множеств. В рамках этого исследования нами использовано понятие множества операторов, мажорируемого некоторым другим множеством операторов. векторная решетка нормированная решетка совместная порядковая сходимость совместно \(\sigma\)-Леви множество совместно компактное множество vector lattice normed lattice collective order convergence collectively \(\sigma\)-Levi set collectively compact set 1 Alpay, S., Emelyanov, E. and Gorokhova, S. \(o\tau\)-Continuous, Lebesgue, KB, and Levi Operators Between Vector Lattices and Topological Vector Spaces, <i>Results in Mathematics</i>, 2022, vol. 77, no. 3, article no. 117, pp. 1-25. DOI: 10.1007/s00025-022-01650-3. Alpay, S., Emelyanov, E. and Gorokhova, S. \(o\tau\)-Continuous, Lebesgue, KB, and Levi Operators Between Vector Lattices and Topological Vector Spaces, <i>Results in Mathematics</i>, 2022, vol. 77, no. 3, article no. 117, pp. 1-25. DOI: 10.1007/s00025-022-01650-3. 2 Emelyanov, E. <i>On KB and Levi Operators in Banach Lattices,</i> arXiv:2312.05685v2 [math.FA], 2023. DOI: 10.48550/arXiv.2312.05685. Emelyanov, E. <i>On KB and Levi Operators in Banach Lattices,</i> arXiv:2312.05685v2 [math.FA], 2023. DOI: 10.48550/arXiv.2312.05685. 3 Gorokhova, S. G. and Emelyanov, E. Y. On Operators Dominated by Kantorovich-Banach Operators and Levy Operators in Locally Solid Lattices,<i> Vladikavkaz Math. J</i>. , 2022, vol. 24, no. 3, pp. 55-61 (in Russian). DOI: 10.46698/f5525-0005-3031-h. Gorokhova, S. G. and Emelyanov, E. Y. On Operators Dominated by Kantorovich-Banach Operators and Levy Operators in Locally Solid Lattices,<i> Vladikavkaz Math. J</i>. , 2022, vol. 24, no. 3, pp. 55-61 (in Russian). DOI: 10.46698/f5525-0005-3031-h. 4 Zhang, F. and Chen, Z. Some Results of (\(\sigma\)-)Levi Operators in Banach Lattices, <i>Positivity</i>, 2022, vol. 26, article no. 49. DOI: 10.1007/s11117-022-00903-3. Zhang, F. and Chen, Z. Some Results of (\(\sigma\)-)Levi Operators in Banach Lattices, <i>Positivity</i>, 2022, vol. 26, article no. 49. DOI: 10.1007/s11117-022-00903-3. 5 Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Locally Solid Riesz Spaces with Applications to Economics: Second Edition, <i>Mathematical Surveys and Monographs</i>, vol. 105, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Locally Solid Riesz Spaces with Applications to Economics: Second Edition, <i>Mathematical Surveys and Monographs</i>, vol. 105, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003. 6 Anselone, P. M. and Palmer, T. W. Collectively Compact Sets of Linear Operators, <i>Pacific Journal of Mathematics</i>, 1968, vol. 25, no. 3, pp. 417-422. <div> Anselone, P. M. and Palmer, T. W. Collectively Compact Sets of Linear Operators, <i>Pacific Journal of Mathematics</i>, 1968, vol. 25, no. 3, pp. 417-422. <div> 7 Kusraev, A. G. <i>Dominated Operators</i>, Dordrecht, Kluwer, 2000.</div><div> </div><div> Kusraev, A. G. <i>Dominated Operators</i>, Dordrecht, Kluwer, 2000.</div><div> </div> 8 Meyer-Nieberg, P.<i> Banach Lattices</i>, Berlin, Springer-Verlag, Universitext, 1991.</div> Meyer-Nieberg, P.<i> Banach Lattices</i>, Berlin, Springer-Verlag, Universitext, 1991.