1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

О пространствах Гельфанда - Шилова типа \(S\)

On Gelfand-Shilov Spaces of Type \(S\)

10.46698/w6732-0632-5795-v

15763

03 2025

27 1 87 100

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15763&SECTION_ID=618

Мусин

И. Х.

Musin

I. Kh.

musin_ildar@mail.ru

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112 Institute of Mathematics with Computing Centre of the Ufa Federal Research Centre of RAS, 112 Chernyshevsky St., Ufa 450008, Russia

В теории обобщенных функций, теории дифференциальных уравнений значительный интерес представляют пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Это связано с тем, что при решении различных задач анализа в таких пространствах можно воспользоваться богатыми возможностями, которые представляет преобразование Фурье или преобразование Лапласа. Одним из таких пространств являются пространства Гельфанда - Шилова типа \(S\). Они возникли в середине 1950-х годов в работах И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова в ходе изучения проблемы единственности решения задач Коши для уравнений в частных производных. В знаменитой серии книг И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова по обобщенным функциям конца 1950-х - начала 1960-х гг. детально описаны свойства функций этих пространств и проведен тщательный анализ Фурье в них. К настоящему времени пространства типа \(S\) нашли многочисленные применения также в теории псевдодифференциальных операторов, частотно-временном анализе. В настоящей работе помощью двух счетных семейств \({\varphi}\) и \(\psi\) раздельно радиальных весовых функций в \({\mathbb R}^n\) введено пространство \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) функций типа \(S\) более общее, чем пространство Гельфанда - Шилова \(S_{\alpha}^{\beta}\). Получено описание пространства \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) в терминах преобразования Фурье функций и рассмотрен вопрос о его нетривиальности. Исследование оператора периодизации на одном из рассматриваемых пространств типа \(S\) оказалось связанным с задачей описания функций пространства периодических ультрадифференцируемых функций типа Румье в терминах убывания их коэффициентов Фурье.

In the theory of generalized functions and the theory of differential equations spaces of rapidly decreasing infinitely differentiable functions are of considerable interest. This is due to the fact that when solving various problems of analysis in such spaces one can use the rich possibilities provided by the Fourier transform or the Laplace transform. One of such spaces is the Gelfand-Shilov spaces of type \(S\). They arose in the mid-1950s in the works of I. M. Gelfand and G. E. Shilov during the study of the problem of uniqueness of the solution of Cauchy problems for partial differential equations. In the famous series of books by I. M. Gelfand and G. E. Shilov on generalized functions of the late 1950s - early 1960s the properties of the functions of these spaces are described in detail and a thorough Fourier analysis is carried out in them. By now, spaces of type \(S\) have found numerous applications also in the theory of pseudodifferential operators, time-frequency analysis. In the present paper, using two countable families \({\varphi}\) and \(\psi\) of separately radial weight functions in \({\mathbb R}^n\), we introduce a space \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) of functions of type \(S\) that is more general than the Gelfand-Shilov space \(S_{\alpha}^{\beta}\). We obtain a description of the space \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) in terms of the Fourier transform of functions and consider the question of its non-triviality. The study of the periodization operator on one of the spaces of type \(S\) under consideration turned out to be related to the problem of describing the functions of the space of periodic ultradifferentiable functions of Roumieu type in terms of the decrease of their Fourier coefficients.

пространства Гельфанда - Шилова преобразование Фурье ряд Фурье

Gelfand-Shilov spaces Fourier transform Fourier series

Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Т. 2: Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. 308 с.

Gelfand, I. M. and Shilov, G. E. Generalized Functions. Vol. 2. Spaces of Fundamental and Generalized Functions, New York, Academic Press, 1968.

Соловьев М. А. Пространственно-подобная асимптотика вакуумных средних в нелокальной теории поля // Теорет. и матем. физика. 1982. Т. 52, № 3. С. 363-374.

Soloviev, M. A. Spacelike Asymptotic Behavior of Vacuum Expectation Values in Nonlocal Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, 1982, vol. 52, no. 3, pp. 854-862. DOI: 10.1007/BF01038079.

Луценко А. В., Мусин И. Х., Юлмухаметов Р. С. О пространствах Гельфанда - Шилова // Уфимск. матем. журн. 2023. Т. 15, № 3. С. 91-99.

Lutsenko, A. V., Musin, I. Kh. and Yulmukhametov, R. S. On Gelfand-Shilov Spaces, Ufa Mathematical Journal, 2023, vol. 15, no. 3, pp. 88-96. DOI: 10.13108/2023-15-3-88.

Эдвардс Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1070 с.

Edwards, R. E. Functional Analysis. Theory and Applications, New York-Toronto-London, Holt, Pineart and Winston, 1965.

Chung J., Chung S-Y, Kim D. Equivalence of the Gelfand-Shilov Spaces // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 203, № 3. P. 828-839. DOI: 10.1006/jmaa.1996.0414.

Chung, J., Chung, S.-Y. and Kim, D. Equivalence of the Gelfand-Shilov Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, vol. 203, no. 3, pp. 828-839. DOI: 10.1006/jmaa.1996.0414.

Мацаев В. И., Ронкин Л. И. Квазианалитические классы функций от нескольких переменных // Зап. матем. отд. физ-матем. фак. и Харьковск. матем. общ. 1961. Т. 27, № 4. С. 49-57.

Matsaev V. I., Ronkin L. I. Quasi-Analytic Classes of Functions of Several Variables, Notes of the Mathematical Department of the Physics and Mathematics Faculty and the Kharkov Mathematical Society, 1961, vol. 27, no. 4, pp. 49-57.

Ронкин Л. И. О квазианалитических классах функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 3. С. 546-549. 8. Lelong P. Sur une propriete de quasi-analyticite des fonctions de plusieurs variables // C. R. Acad. Sci. Paris. 1951. Vol. 232. P. 1178-1180. 9. Lelong P. Extension d'un theoreme de Carleman // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1962. Vol. 12. P. 627-641. 10. Roumieu C. Ultra-distribution definis sur \({\mathbb R^n}\) et sur certaines classes de varietes differentiables // J. Analyse Math. 1962. Vol. 10. P. 153-192. DOI: 10.1007/BF02790307. 11. Thu Pham-Gia. On a theorem of Lelong // Canad. Math. Bull. 1976. Vol. 19, № 4 P. 505-506. DOI: 10.4153/CMB-1976-077-x. 12. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distribution // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. Ser. 3. 1960. Vol. 77, № 1. P. 41-121. DOI: 10.24033/asens.1087. 13. Komatsu H. Ultradistributions, I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 1973. Vol. 20, № 1. P. 25-105. 14. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. Vol. 17, № 3-4. P. 206-237. DOI: 10.1007/BF03322459. 15. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007. 222 с. 16. Абанин А. В. \(\Omega\)-ультрараспределения // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 2. С. 3-38. DOI: 10.4213/im1147. 17. Boiti C., Jornet D., Oliaro A. Regularity of partial differential operators in ultradifferentiable spaces and Wigner type transforms // J. Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 446, № 1. P. 920-944. DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.09.029. 18. Meise R. Sequence Space Representations For Zero-Solutions of Convolution Equations on Ultradifferentiable Functions of Roumieu Type // Stud. Math. 1989. Vol. 92. P. 211-230. DOI: 10.4064/sm-92-3-211-230. 19. Полякова Д. А. Об образе оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций // Алгебра и анализ. 2024. Т. 36, № 2. С. 108-130. 20. Полякова Д. А. Описание ядра оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Румье // Владикавк. матем. журн. 2024. Т. 26, № 3. С. 72-85. DOI: 10.46698/f8294-3012-1428-w. 21. Луценко А. В., Мусин И. Х., Юлмухаметов Р. С. О классе периодических функций в \({\mathbb R^n}\) // Уфимск. матем. журн. 2022. Т. 14, № 4. С. 73-79.

Ronkin, L. I. On Quasi-Analytic Classes of Functions of Several Variables, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1962, vol. 146, no. 3, pp. 546-549.