1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Пространство голоморфных функций полиномиального роста как локальная алгебра

Space of Holomorphic Functions of Polynomial Growth as Local Algebra

10.46698/r2980-5208-7458-m

15757

03 2025

27 1 44 55

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15757&SECTION_ID=620

Иванова

О. А.

Ivanova

O. A.

neo_ivolga@mail.ru

Мелихов

С. Н.

Melikhov

S. N.

snmelihov@yandex.ru

Южный федеральный университет, РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а Southern Federal University, 8a Mil'chakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia

Пусть \(G\) - область в комплексной плоскости, звездная относительно точки 0, \(H^{-\infty}(G)\) - пространство голоморфных в \(G\) функций полиномиального роста вблизи границы \(G\). В нем вводится произведение Дюамеля \(\ast\). Оно используется в операционном и операторном исчислениях, при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в спектральной теории, в задаче о спектральной кратности линейного оператора, в краевых задачах. Показано, что \(H^{-\infty}(G)\) с указанным умножение является унитальной ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй. Оператор интегрирования \(J(f)(z)=\int\nolimits_0^z f(t)\,dt\) линейно и непрерывно действует в \(H^{-\infty}(G)\). Установлено, что все линейные непрерывные в \(H^{-\infty}(G)\) операторы, перестановочные с \(J\), представляются в виде \(S_g(f)=f\ast g\), где \(g\) - фиксированная функция из \(H^{-\infty}(G)\). В случае, когда \(G\) является строго звездной относительно точки 0, доказаны критерий обратимости элемента алгебры \((H^{-\infty}(G),\ast)\) и критерий того, что оператор \(S_g\) имеет линейный непрерывный обратный. Показано, что всякий ненулевой оператор из коммутанта \(J\) является композицией степени оператора \(J\) и некоторого изоморфизма из упомянутого коммутанта. При доказательстве \(\ast\)-обратимости привлекается ряд Неймана, обычно применяющийся в банаховых пространствах. В ненормируемых локально выпуклых пространствах функций ранее он использовался Л. Бергом, Н. Уигли и М. Т. Караевым. Описаны все замкнутые идеалы алгебры \((H^{-\infty}(G),\ast)\), замкнутые инвариантные подпространства и циклические векторы \(J\) в \(H^{-\infty}(G)\). Из полученных результатов следует, что оператор \(J\) является одноклеточным, а алгебра \((H^{-\infty}(G),\ast)\) локальна. Единственным максимальным идеалом в ней является множество всех \(\ast\)-необратимых элементов.

Let \(G\) be a domain in the complex plane, star-shaped with respect to the point 0, \(H^{-\infty}(G)\) be the space of holomorphic functions in \(G\) of polynomial growth near the boundary of \(G\). The Duhamel product \(\ast\) is introduced in it. This product is used in operational and operator calculus, in the spectral theory, in the problem of the spectral multiplicity of a linear operator, in boundary value problems. It is shown that \(H^{-\infty}(G)\) with it is a unital topological algebra. The integration operator \(J(f)(z)=\int\nolimits_0^z f(t)\,dt\) acts linearly and continuously in \(H^{-\infty}(G)\). It is proved that all linear continuous operators in \(H^{-\infty}(G)\) that commute with \(J\), are represented as \(S_g(f)=f\ast g\), where \(g\) is a fixed function from \(H^{-\infty}(G)\). In the case where \(G\) is strictly star-shaped with respect to zero, a criterion for the invertibility of an element of the algebra \(H^{-\infty}(G)\) and a criterion for the operator \(S_g\) to have the continuous linear inverse are proved. It is shown that every nonzero operator from the commutator subgroup \(J\) is a composition of the power of the operator \(J\) and some isomorphism from the aforementioned commutator subgroup. In the proving of \(\ast\)-invertibility the Neumann series is used, usually applied in Banach spaces. In non-normable locally convex spaces of functions it was previously used by L. Berg, N. Wigley, and M. T. Karaev. All closed ideals of the algebra \((H^{-\infty}(G),\ast)\), closed invariant subspaces and cyclic vectors of \(J\) in \(H^{-\infty}(G)\) are described. From the obtained results it follows that the operator \(J\) is unicellular and the algebra \((H^{-\infty}(G),\ast)\) is local. The only maximal ideal in it is the set of all \(\ast\)-irreversible elements.

произведение Дюамеля оператор интегрирования пространство голоморфных функций полиномиального роста

Duhamel product integration operator space of holomorphic functions of polynomial growth

Wigley N. The Duhamel product of analytic functions // Duke Math. J. 1974. Vol. 41. P. 211-217. DOI: 10.1215/S0012-7094-74-04123-4.

Wigley, N. The Duhamel Product of Analytic Functions, Duke Mathematical Journal, 1974, vol. 41, pp. 211-217. DOI: 10.1215/S0012-7094-74-04123-4. 2. Karaev, M. T. Duhamel Algebras and Applications, Functional Analysis and Its Applications, 2018, vol. 52, pp. 1-8. DOI: 10.1007/s10688-018-0201-z. 3. Biswas, A., Lambert, A. and Petrovic, S. Extended Eigenvalues and the Volterra Operator, Glasgow Mathematical Journal, 2002, vol. 44, pp. 521-534. DOI: 10.1017/S001708950203015X. 4. Raichinov, I. On Linear Operators Commuting with the Integration Operation, Matematicheskii analiz i ego prilozheniya. T. 2 [Mathematical Analysis and its Applications. Vol. 2], Rostov-on-Don, RSU, 1970, pp. 63-72 (in Russian). 5. Nagnibida, N. I. On the Question of the Description of the Commutants of an Integration Operator in Analytic Spaces, Siberian Mathematical Journal, 1981, vol. 22, no. 5, pp. 748-752. DOI: 10.1007/BF00968071. 6. Korobeinik, Yu. F. Operatory sdviga na chislovykh semeystvakh [Shift Operators on Numerical Families], Rostov-on-Don, RSU, 1983, 160 p. (in Russian). 7. Dimovski, I. Convolutional Calculus, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990, 184 p. 8. Tapdigoglu, R. and Torebek, B. T. Commutant and Uniqueness of Solutions of Duhamel Equations, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 2020, vol. 44, no. 2, pp. 705-710. DOI: 10.1007/s40840-020-00972-1. <div> 9. Berg, L. Einfuhrung in die Operatorenrechnung, Berlin, VEB Duetscher Verlag der Wissenschaften, 1965,</div><div> 274 p.</div> 10. Ivanova, O. A. and Melikhov, S. N. On Invertibility of Duhamel Operator in Spaces of Ultradifferentiable Functions, Ufa Mathematical Journal, 2023, vol. 15, no. 4, pp. 62-75. DOI: 10.13108/2023-15-4-62. 11. Karaev, M. T. New Proof of Nagnibida's Theorem, Journal of Function Spaces and Applications, 2008, vol. 4, no. 1, pp. 85-90. DOI: 10.1155/2006/524947. 12. Korenblum, B. An Extension of the Nevanlinna Theory, Acta Mathematica, 1975, vol. 135, pp. 187-219. DOI: 10.1007/BF02392019. 13. Korenblum, B. A Beurling-Type Theorem, Acta Mathematica, 1977, vol. 138, pp. 265-293. DOI: 10.1007/BF02392318. 14. Straube, E. J. Harmonic and Analytic Functions Admitting a Distribution Boundary Value, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze, 1989, vol. 11, no. 4, pp. 559-591. 15. Abanin, A. V. and Khoi, Le Hai. Dual of the function Algebra \(A^{-\infty(D)}\) and Representation of Functions in Dirichlet Series, Proceedings of the American Mathematical Society, 2010, vol. 138, pp. 3623-3635. DOI: 10.1090/S0002-9939-10-10383-9. 16. Abanin, A. V. and Khoi, Le Hai. Pre-Dual of the Function Algebra \(A^{-\infty(D)}\) and Representation of Functions in Dirichlet Series, Complex Analysis and Operator Theory, 2011, vol. 5, pp. 1073-1092. DOI: 10.1007/s11785-010-0047-8. 17. Abanin A. V., Ishimura R. and Khoi Le Hai. Convolution Operators in \(A^{-\infty}\) for Convex Domains, Arkiv for Matematik, 2012, vol. 50, pp. 1-22. DOI: 10.1007/s11512-011-0146-4. 18. Abanin, A. V., Ishimura, R. and Khoi, Le Hai. Extension of Solutions of Convolution Equations in Spaces of Holomorphic Functions with Polynomial Growth in Convex Domains, Bulletin des Sciences Mathematiques, 2012, vol. 136, no. 1, pp. 96-110. DOI: 10.1016/j.bulsci.2011.06.002. 19. Abanin, A. V. and Khoi, Le Hai. Linear Continuous Right Inverse Operator for Convolution Operator in Spaces of Holomorphic Functions of Polynomial Growth, Russian Mathematics, 2015, vol. 59, no. 1, pp. 1-10. DOI: 10.3103/S1066369X15010016. 20. Melikhov, S. N. (DFS)-Spaces of Holomorphic Functions Invariant Under Differentiation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, vol. 297, no. 2, pp. 577-586. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.03.030. 21. Varziev, V. A. and Melikhov, S. N. On the Dual Space of the Space of Analytic Functions of Polynomial Growth Near the boundary, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2008, vol. 10, no. 4, pp. 17-22 (in Russian).

Караев М. Т. Алгебры Дюамеля и их приложения // Функц. анализ и его прил. 2018. Т. 52, вып. 1. С. 3-12. DOI: 10.4213/faa3481.

Biswas A., Lambert A., Petrovic S. Extended eigenvalues and the Volterra operator // Glasgow Math. J. 2002. Vol. 44. P. 521–-534. DOI: 10.1017/S001708950203015X.

Райчинов И. О линейных операторах, перестановочных с операцией интегрирования // Математический анализ и его приложения. Т. 2. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1970. С. 63-72. 5. Нагнибида Н. И. К вопросу об описании коммутантов оператора интегрирования в аналитических пространствах // Сибирский матем. журн. 1981. Т. 22, № 5. С. 127-131. 6. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1983. 160 с. 7. Dimovski I. Convolutional Calculus. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1990. 184 p. 8. Tapdigoglu R., Torebek B. T. Commutant and Uniqueness of Solutions of Duhamel Equations // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2021. Vol. 44, issue 2. P. 705-710. DOI: 10.1007/s40840-020-00972-1. <div> 8. Berg L. Einfuhrung in die Operatorenrechnung. Berlin: VEB Duetscher Verlag der Wissenschaften, 1965.</div><div> 274 p.</div> 9. Иванова О. А., Мелихов С. Н. Об обратимости оператора Дюамеля в пространствах ультрадифференцируемых функций // Уфимск. матем. журн. 2023. Т. 15, № 4. С. 61-74. 10. Karaev M. T. New proof of Nagnibida's theorem // J. of Function Spaces and Appl. 2006. Vol. 4, № 1. P. 85-90. DOI: 10.1155/2006/524947. 11. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory // Acta Math. 1975. Vol. 135. P. 187–-219. DOI: 10.1007/BF02392019. 12. Korenblum B. A Beurling-type theorem // Acta Math. 1977. Vol. 138. P. 265–-293. DOI: 10.1007/BF02392318. 13. Straube E. J. Harmonic and analytic functions admitting a distribution boundary value // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1989. Vol. 11, № 4. P. 559-591. 14. Abanin A. V., Khoi Le Hai. Dual of the function algebra \(A^{-\infty(D)}\) and representation of functions in Dirichlet series // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. Vol. 138. P. 3623-3635. DOI: 10.1090/S0002-9939-10-10383-9. 15. Abanin A. V., Khoi Le Hai. Pre-dual of the Function Algebra \(A^{-\infty(D)}\) and Representation of Functions in Dirichlet Series // Complex Anal. Oper. Theory. 2011. Vol. 5. P. 1073-1092. DOI: 10.1007/s11785-010-0047-8. 16. Abanin A. V., Ishimura R., Khoi Le Hai. Convolution operators in \(A^{-\infty}\) for convex domains // Ark. Mat. 2012. Vol. 50. P. 1-22. DOI: 10.1007/s11512-011-0146-4. 17. Abanin A. V., Ishimura R., Khoi Le Hai. Extension of solutions of convolution equations in spaces of holomorphic functions with polynomial growth in convex domains // Bull. Sci. Math. 2012. Vol. 136, Issue 1. P. 96-110. DOI: 10.1016/j.bulsci.2011.06.002. 18. Абанин А. В., Хой Ле Хай. Линейный непрерывный правый обратный оператор для оператора свертки в пространствах голоморфных функций полиномиального роста // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 3-13. 19. Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // J. Math. Anal. Appl. 2004. Vol. 297, issue 2. P. 577-586. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.03.030. 20. Варзиев В. А., Мелихов С. Н. О сопряженном к пространству аналитических функций полиномиального роста вблизи границы // Владикавк. матем. журн. 2008. Т. 10, № 4. С. 17-22.