1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Vector Lattice Powers: Continuous and Measurable Vector Functions

Степень векторной решетки: непрерывные и измеримые вектор-функции

10.46698/z3076-9333-9133-l

16721

06 2025

27 2 84 92

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16767&SECTION_ID=631

Кусраева

З. А.

Kusraeva

Z. A.

zali13@mail.ru

Владикавказский научный центр РАН, Россия, 363110, с. Михайловское, ул. Вильямса, 1 Vladikavkaz Scientific Centre of the RAS, 1 Williams St., Village of Mikhailovskoye 363110, Russia

In the study of order properties of homogeneous polynomials in vector lattices two constructions are of fundamental importance: the symmetric positive tensor product and the vector lattice power. Both associate a canonical \(n\)-homogeneous polynomial with each Archimedean vector lattice, such that any other homogeneous polynomial of an appropriate class defined on the same vector lattice is the composition of the canonical polynomial with a linear operator. With this so called "linearization" in hand, various tools of the theory of positive linear operators can be used to study homogeneous polynomials. Thus, the problem of description of the Fremlin symmetric tensor products and the vector lattice powers for special vector lattices arises. The former enables one to study a large class of order bounded homogeneous polynomials, but has a very complicated structure; the latter has a much more transparent structure, but handles a narrower class of homogeneous polynomials, namely orthogonally additive ones. The purpose of this note is to describe the power of the vector lattice of continuous or Bochner measurable vector functions with values in a Banach lattice and to apply this result to the representation of homogeneous orthogonally additive polynomials.

В исследовании порядковых свойств однородных полиномов, действующих в векторных решетках, две конструкции имеют основополагающее значение: симметричное положительное тензорное произведение и степень векторной решетки. Обе эти конструкции связывают с архимедовой векторной решеткой канонический \(n\)-однородный полином, так что любой другой однородный полином соответствующего класса, определенный на той же векторной решетке, является композицией этого канонического полинома с линейным оператором. Благодаря этой "линеаризации" можно использовать различные инструменты теории положительных линейных операторов для изучения однородных полиномов. Таким образом, возникает задача описания симметричных тензорных произведений Фремлина и степеней векторной решетки для специальных векторных решеток. Первое позволяет исследовать широкий класс порядково ограниченных однородных полиномов, но имеет очень сложную структуру; второе обладает гораздо более прозрачной структурой, но охватывает при этом более узкий класс однородных полиномов, а именно: ортогонально аддитивных однородных полиномов. Целью настоящей заметки является описание степени векторной решетки непрерывных или измеримых по Бохнеру вектор-функций со значениями в банаховой решетке и применение этого результата к представлению однородных ортогонально аддитивных полиномов.

степень банаховой решетки однородный полином ортогональная аддитивность банахова решетка измеримость по Бохнеру непрерывная вектор-функция

Banach lattice power homogeneous polynomial orthogonal additivity Banach lattice Bochner measurable function continuous vector function

Fremlin, D. H. Tensor Products of Banach Lattices, Mathematische Annalen , 1974, vol. 211, pp. 87-106. DOI: 10.1007/BF01344164.

Boulabiar, K. and Buskes, G. Vector Lattice Powers: \(f\)-Algebras and Functional Calculus, Communications in Algebra, 2006, vol. 34, no. 4, pp. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885. 3. Bu, Q. and Buskes, G. Polynomials on Banach Lattices and Positive Tensor Products, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol. 388, no. 2, pp. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001. 4. Troitsky, V. G. and Zabeti, O. Fremlin Tensor Products of Concavifications of Banach Lattices, Positivity, 2014, vol. 18, no. 1, pp. 191-200. DOI: 10.1007/s11117-013-0239-3. 5. Kusraeva, Z. A. Powers of Quasi-Banach Lattices and Orthogonally Additive Polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 458, no. 1, pp. 767-780. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.09.019. 6. Kusraeva, Z. A. Order Properties of Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2021, vol. 23, no. 3, pp. 91-112 (in Russian). DOI: 10.46698/l0779-9998-4272-b. 7. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators New York, Academic Press, 1985. 8. Fremlin, D. H. Measure Algebras, Broad Foundations. Vol. 2, Colchester, Torres Fremlin, 2001. 9. Lin, P.-K. Kothe-Bochner Function Spaces, Springer, 2004. 10. Buskes, G., de Pagter, B. and van Rooij, A. Functional Calculus on Riesz Spaces, Indagationes Mathematicae, N.S., 1991, vol. 2, no. 4, pp. 423-436. DOI: 10.1016/0019-3577(91)90028-6. 11. Maligranda, L. Type, Cotype and Convexity Properties of Quasi-Banach Spaces, Proceedings of the International Symposium on Banach and Function Spaces, Yokohama, Yokohama Publ., 2004, pp. 83-120. 12. Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces, Springer-Verlag, Berlin etc, 1979, 243 p. 13. Kusraeva, Z. A. Representation of Orthogonally Additive Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, no. 2, pp. 248-255. DOI: 10.1134/S003744661102008X. 14. Ben Amor, F. Orthogonally Additive Homogenous Polynomials on Vector Lattices, Communications in Algebra, 2015, vol. 43, no. 3, pp. 1118-1134. DOI: 10.1080/00927872.2013.865038. 15. Benyamini, Y., Lassalle, S. and Llavona, J. G. Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials on Banach Lattices, Bulletin of the London Mathematical Society, 2006, vol. 38, no. 3, pp. 459-469. DOI: 10.1112/S0024609306018364. 16. Ibort, A., Linares, P. and Llavona, J. G. A Representation Theorem for Orthogonally Additive Polynomials on Riesz Spaces, Revista Matematica Complutense, 2012, vol. 25, pp. 21-30. DOI: 10.1007/s13163-010-0053-4. 17. Gutman, A. E. Banach Bundles in the Theory of Lattice-Normed Spaces. II. Measurable Banach Bundles, Siberian Advances in Mathematics, 1993, vol. 3, no. 4, pp. 8-40. 18. Gutman, A. E. Banach Bundles in the Theory of Lattice-Normed Spaces. I. Continuous Banach Bundles, Siberian Advances in Mathematics, 1993, vol. 3, no. 3, p. 1-55. 19. Kusraev, A. G. Functional Calculus and Minkowski Duality on Vector Lattices, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2009, vol. 11, no. 2, pp. 31-42.