1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках

Approximation Properties of Valle-Poussin Averages for Discrete Fourier Sums Bypolynomials Orthogonal on Arbitrary Nets

10.46698/q4030-9541-4914-r

16724

06 2025

27 2 93 111

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16724&SECTION_ID=630

Нурмагомедов

А. А.

Nurmagomedov

A. A.

alimn@mail.ru

Шихшинатова

М. М.

Shikhshinatova

M. M.

shichmum-2006@mail.ru

Дагестанский государственный аграрный университет, РОССИЯ, 367032, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 180 Dagestan State Agrarian University, 180 M. Gadzhiev St., Makhachkala 367032, Russia

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, РОССИЯ, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26 Moscow State University of Civil Engineering, 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow 129337, Russia

Пусть \(T=\{t_0, t_1, \ldots, t_N\}\) и \(T_N=\{x_1, x_2, \ldots, x_{N-1}\},\) где \(x_j=(t_j+t_{j+1})/2\), \(j=0, 1, \ldots, N-1\) - произвольные системы различных точек отрезка \([-1, 1].\) В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке \([-1, 1]\) функции \(f(x)\) построены средние типа Валле-Пуссена \(V_{n,m,N}(f,x)\) для дискретных сумм Фурье \(S_{n,N}(f,x)\) по системе многочленов, образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках \(T_N\) с весом \(\Delta{t_j}=t_{j+1}-t_j.\) Исследуются аппроксимативные свойства построенных \(V_{n,m,N}(f,x)\) порядка \(n+m\leq{N-1}\) в пространстве непрерывных функций \(C[-1, 1].\) А именно доказано, что средние Валле-Пуссена \(V_{n,m,N}(f,x)\) при \(\frac{n}{m}\asymp1\), \(n\leq\lambda\delta_N^{-\frac14} (\lambda>0)\), \(\delta_N=\max_{0\leq{j}\leq{N-1}}\Delta{t_j},\) равномерно ограничены, как семейство линейных операторов, действующих в пространстве \(C[-1, 1].\) Кроме того, как следствие полученного результата установлен порядок приближения непрерывной функции \(f(x)\) средними Валле-Пуссена \(V_{n,m,N}(f,x)\) в пространстве \(C[-1, 1].\)

Let \(T=\{t_0, t_1, \ldots, t_N\}\) and \(T_N=\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\},\) where \(x_j=(t_j+t_{j+1})/2\), \(j=0, 1, \ldots, N-1,\) are any system of different points from \([-1, 1].\) For arbitrary continuous function \(f(x)\) on the segment \([-1, 1]\) we construct Valle-Poussin type averages \(V_{n,m,N}(f,x)\) for discrete Fourier sums \(S_{n,N}(f,x)\) on system of polynomials \(\{\hat{p}_{k,N}(x)\}_{k=0}^{N-1}\) forming an orthonormals system on any finite non-uniform grids \(T_N=\{x_j\}_{j=0}^{N-1}\) with weight \(\Delta{t_j}=t_{j+1}-t_j.\) Approximation properties of the constructed averages \(V_{n,m,N}(f,x)\) of order \(n+m\leq{N-1}\) in the space of continuous functions \(C[-1, 1]\) are investigated. Namely, it is proved that the Vallee-Poussin averages \(V_{m,n,N}(f,x)\) for \(\frac{n}m\asymp1, n\leq\lambda\delta_N^{-\frac14} (\lambda>0), \delta_N=\max_{0\leq{j}\leq{N-1}}\Delta{t_j},\) are uniformly bounded as a family of linear operators acting in the space \(C[-1, 1].\) In addition, as a consequence of the obtained result the order of approximation of the continuous function \(f(x)\) by the Vallee-Poussin \(V_{n,m,N}(f,x)\) averages in space \(C[-1, 1]\) is established.

многочлен ортогональная система сетка весовая оценка асимптотическая формула дискретные суммы Фурье средние Валле-Пуссена

polynomial orthogonal system grid asymptotic formula Fourier sums Vallee-Poussin averages

Даугавет И. К., Рафальсон С. З. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов // Вестник Ленингр. ун-та. 1974. № 19. C. 18-24.

Daugavet, I. K. and Rafalson, S. Z. About of Some Inequalities for Algebraic Polynomial, Vestnik Leningradskogo universiteta} [Bulletin of Leningrad University], 1974, vol. 19, pp. 18-24 (in Russian).

Конягин С. В. О неравенстве В. А. Маркова для многочленов в метрике \(L\) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. T. 145. C. 117-125.

Konyagin, S. V. Markov's Inequality for Polynomials in the Metric of \(L\), Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1981, vol. 145, pp. 129-138.

Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах \(L_p\), \(L_1\) на отрезке // Тр. Ин-та. матем. и механ. УрО РАН. 2011. T. 17, № 3. C. 282-290.

Simonov, I. E. Sharp Markov Brothers Type Inequality in the Spaces \(L_p, L_1\) on the a Closed Interval, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN [Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences], 2011, vol. 17, no. 3 pp. 282-290 (in Russian).

Нурмагомедов А. А., Расулов Н. К. Двусторонняя оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. T. 5, № 63, вып. 3. C. 417-431.

Nurmagomedov, A. A. and Rasulov, N. K. Two-Sided Estimates of Fourier Sums Lebesgue Functions with Respect to Polynomials Orthogonal on Nonuniform Grids, Vestnik St. PetersburgUniversity, Mathematics, 2018, vol. 51, no. 3, pp. 249-259. DOI: 10.3103/S1063454118030068. 5. Nurmagomedov, A. A. The Approximation of Functions by Partial Sums of the Fourier Series in Polynomials Orthogonal on Arbitrary Grid, Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2020, vol. 64, no. 4, pp. 54-63. DOI: 10.3103/S1066369X20040064. 6. Nurmagomedov, A. A. Approximation Properties of Discrete Fourier Sums in Polynomials Orthogonal on Non-Uniform Grids, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2020, vol. 22, no. 2, pp. 34-47 (in Russian). DOI: 10.46698/k4355-6603-4655-у. 7. Sharapudinov, I. I. and Vagabov, I. A. Convergence of the Vallee-Poussin Means for Fourier-Jacobi Sums, Mathematical Notes, 1996, vol. 60, iss. 4, pp. 425-437. DOI: 10.1007/BF02305425. 8. Sharapudinov, I. I. Boundednes in \(C[- 1, 1]\) of the de la Vallee-Poussin Means for the Discrete Fourier-Jacobi Sums, Sbornik: Mathematics, 1996, vol. 187, no. 1, pp. 141-158. DOI: 10.1070/SM1996v187n01ABEH000105. 9. Sharapudinov, I. I. Approximation Properties of the Vallee-Poussin Means of Partial Sums of a Mixed Series of Legendre Polynomials, Mathematical Notes, 2008, vol. 84, no. 3, pp. 417-434. DOI: 10.1134/ S0001434608090125. 10. Korkmasov, F. M. Approximation Properties of the de la Vallee-Poussin Means for Discrete Fourier-Jacobi Sums, Siberian Mathematical Journal, 2004, vol. 45, no. 2, pp. 273-293. DOI: 10.1023/B:SIMJ.0000021284.60159.bd. 11. Nurmagomedov, A. A. Asymptotic Properties of Polynomials which are Orthogonal on Arbitrary Grids, Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2008, vol. 8, no. 1, pp. 25-31 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2008-8-1-25-31. 12. Szego, G. Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 432 p. 13. Suetin, P. K. Klassicheskie ortogonal'nye mnogochleny [Classical Orthogonal Polynomials], Moscow, Nauka, 1979 (in Russian). 14. Sharapudinov, I. I. Mnogochleny, ortogonal'nye na setkah. Teoriya i prilozheniya [Mixed Series of Orthogonal Polynomials. Theory and Applications], Makhachkala, Dagestan State Pedagogical University, 1997, 255 p. (in Russian).

Нурмагомедов A. A. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках // Изв.вузов. Математика. 2020. № 4. C. 64-73. DOI: 10.26907/0021-3446-2020-4-64-73.

Нурмагомедов А. А. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках // Владикавк. мат. журн. 2020. T. 22, вып. 2. C. 34-47. DOI: 10.46698/k4355-6603-4655-у. 7. Шарапудинов И. И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье - Якоби // Матем. заметки. 1996. T. 60, вып. 4. C. 569-586. DOI: 10.4213/mzm1863. 8. Шарапудинов И. И. Об ограниченности в \(C[-1, 1]\) средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье - Чебышевa // Матем. сб. 1996. T. 187, № 1. C. 143-160. DOI: 10.4213/sm105. 9. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лежандрa // Матем. заметки. 2008. T. 84, вып. 3. C. 452-471. DOI: 10.4213/mzm5541. 10. Коркмасов Ф. М. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье Якоби // Сиб. мат. журн. 2004. T. 45, № 2. C. 334-355. 11. Нурмагомедов A. A. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. T. 8, вып. 1. C. 25-31. DOI: 10.18500/1816-9791-2008-8-1-25-31. 12. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 c. 13. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. 14. Шарапудинов И. И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала: ДГПУ, 1997. 255 с.