1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Эллиптические уравнения с инволютивным отклонением аргумента Elliptic Equations with Involutive Deviation of the Argument 10.46698/i3311-3054-4734-g 17169 09 2025 27 3 5 20 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17169&SECTION_ID=635 Бжеумихова О. И. Bzheumikhova O. I. bzhoksana@gmail.com Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov, 173 Chernyshevsky St., Nalchik 360004, Russia Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач в цилиндрической области, а также некоторых спектральных задач для линейного эллиптического уравнения второго порядка с инволютивным отклонением аргумента по выделенной переменной в младших членах. Данная работа состоит из двух частей. Объектом исследования первой части является изучение разрешимости краевых задач, в том числе нелокальных краевых задач, для линейного эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и с общим инволютивным отклонением аргумента по выделенной переменной. Для таких задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящих в уравнение) решений. Во второй части работы для эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами и с линейным инволютивным отклонением аргумента по выделенной переменной изучается разрешимость некоторых спектральных задач. А именно, исследуется влияние параметров на единственность и неединственность регулярных решений. Полученные результаты показывают, что наличие в уравнении инволюции (инволютивного отклонения аргумента) может существенно повлиять как на условия разрешимости, так и на корректность задач. This paper is devoted to the solvability of boundary value problems in a cylindrical domain and certain spectral problems for a second-order linear elliptic equation with involutive deviation of the argument in lower-order terms with respect to a selected variable. The paper consists of two parts. In the first part we investigate the solvability of boundary value problems, including nonlocal ones, for a second-order linear elliptic equation with variable coefficients and general involutive deviation of the argument with respect to a selected variable. We establish existence and uniqueness theorems for regular solutions (those possessing all generalised derivatives in the Sobolev sense that appear in the equation). In the second part we investigate the solvability of certain spectral problems for an elliptic equation with constant coefficients and linear involutive deviation of the argument with respect to a selected variable. Specifically, we analyse how various parameters affect the uniqueness and non-uniqueness of regular solutions to boundary value problems. These results show that the presence of involution (involutive deviation of the argument) in the equation can substantially impact both the solvability conditions and the well-posedness of the problems. эллиптические уравнения инволюция краевая задача спектральные задачи регулярные решения существование единственность elliptic equations involution boundary value problem spectral problems regular solutions existence uniqueness 1 Shisha O., Mehr C. B. On involutions // J. Res. Natl. Bur. Stand. B, Math. Math. Phys. 1967. Vol. 71B, № 1. P. 19-20. Shisha, O. and Mehr, C. B. On Involutions, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1967, vol. 71B, no. 1, pp. 19-20. 2 Андреев А. А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 8. С. 1126-1128. Andreev, A. A. Analogs of Classical Boundary Value Problems for a Second-Order Differential Equation with Deviating Argument, Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 8, p. 1192-1194. DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000049836.04104.6f. 3 Андреев А. А., Огородников Е. Н. К постановке и обоснованию корректности начальной краевой задачи для одного класса нелокальных вырождающихся уравнений гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2006. № 43. С. 44-51. DOI: 10.14498/vsgtu452. Andreev, A. A. and Ogorodnikov, E. N. On the Formulation and Justification of the Correctness of the Initial Boundary Value Problem for One Class of Nonlocal Degenerate Equations of Hyperbolic Type, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnincheskogo Univiversiteta. Ser. Fiziko-Matematicheskie Nauki [Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences], 2006, no. 43, pp. 44-51 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu452. 4 Ashyralyev A., Sarsenbi A. Well-posedness of a parabolic equation with involution // Numer. Funct. Anal. Optim. 2017. Vol. 38, № 10. P. 1295-1304. DOI: 10.1080/01630563.2017.1316997. Ashyralyev, A. and Sarsenbi, A. Well-Posedness of a Parabolic Equation with Involution, Numerical Functional Analysis and Optimization, 2017, vol. 38, no. 10, pp. 1295-1304. DOI: 10.1080/ 01630563.2017.1316997. 5 Сарсенби А. А. Некорректная задача для уравнения типа теплопроводности с инволюцией // Журн. Средневолжского матем. общества. 2019. Т. 21, № 1. С. 48-59. DOI: 10.15507/2079-6900.21.201901.48-59. Sarsenbi, A. A. The Ill-Posed Problem for the Heat Transfer Equation with Involution, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva [Middle Volga Mathematical Society Journal], 2019, vol. 21, no. 1, pp. 48-59 (in Russian). DOI: 10.15507/2079-6900.21.201901.48-59. 6 Винер И. Я. Дифференциальные уравнения с инволюциями // Дифференц. уравнения. 1969. T. 5, № 6. С. 1131-1137. Viner, I. Ya. Differential Equations with Involutions, Differentsial'nye Uravneniya [Differential Equations], 1969, vol. 5, no. 6, pp. 1131-1137 (in Russian). 7 Винер И. Я. Дифференциальные уравнения в частных производных с инволюциями // Дифференц. уравнения. 1970. T. 6, № 7. С. 1320-1322. Viner, I. Ya. Partial Differential Equations with Involutions, Differentsial'nye Uravneniya [Differential Equations], 1970, vol. 6, no. 7, pp. 1320-1322 (in Russian). 8 Gupta Chaitan P. Two-point boundary value problems involving reflection of the argument // Int. J. Math. Math. Sci. 1987. Vol. 10, № 2. P. 361-371. DOI: 10.1155/S0161171287000425. Gupta, Ch. P. Two-Point Boundary Value Problems Involving Reflection of the Argument, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1987, vol. 10, no. 2, pp. 361-371. DOI: 10.1155/S0161171287000425. 9 Кальменов Т. Ш., Шалданбаев А. Ш. Об одном рекуррентном методе решения сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения второго порядка // Мат. тр. 2010. Т. 13, № 2. С. 128-138. Kal'menov, T. Sh. and Shaldanbaev, A. Sh. On a Recurrent Method for Solving a Singularly Perturbed Cauchy Problem for a Second Order Equation, Siberian Advances in Mathematics, 2011, vol. 21, no. 4, pp. 274-281. DOI: 10.3103/S1055134411040055. 10 Ashyralyev A., Sarsenbi A. M. Well-posedness of an elliptic equation with involution // Electron. J. Differ. Equ. 2015. Vol. 2015, № 284. P. 1-8. Ashyralyev, A. and Sarsenbi, A. M. Well-posedness of an Elliptic Equation with Involution, Electronic Journal of Differential Equations, 2015, vol. 2015, no. 284, pp. 1-8. 11 Cabada A., Tojo F. A. F. Differential Equations with Involutions. Amsterdam-Paris-Beijing: Atlantic Press, 2015. 153 p. (Atlantis Briefs in Differential Equations. Vol. 2). DOI: 10.2991/978-94-6239-121-5. Cabada, A. and Tojo, F. A. F. Differential Equations with Involutions, Atlantis Briefs in Differential Equations, vol. 2, Amsterdam-Paris-Beijing, Atlantic Press, 2015, 153 p. DOI: 10.2991/978-94-6239-121-5. 12 Iskakova U. A., Torebek B. T. Certain method of solving ill-posed Cauchy-Robin problem for the Laplace operator // News of NAS RK. Phys.-Math. Ser. 2016. Vol. 6, № 310. P. 115-120. Iskakova, U. A. and Torebek, B. T. Certain Method of Solving Ill-Posed Cauchy-Robin Problem for the Laplace Operator, News of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. Physico-Mathematical Series, 2016, vol. 6, no. 310, pp. 115-120. 13 Shaldanbayev A. Sh., Shomanbayeva M. T., Achmetova S. T. About Сantor of the range of the operator of the periodic regional task for the heat conductivity equation with the deviating argument // News of NAS RK. Phys.-Math. Ser. 2016. Vol. 3, № 307. P. 148-157. Shaldanbayev, A. Sh., Shomanbayeva, M. T. and Achmetova, S. T. About Сantor of the Range of the Operator of the Periodic Regional Task for the Heat Conductivity Equation with the Deviating Argument, News of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. Physico-Mathematical Series, 2016, vol. 3, no. 307, pp. 148-157. 14 Sadybekov M. A., Dildabek G., Ivanova M. B. On an inverse problem of reconstructing a heat conduction process from nonlocal data // Adv. Math. Phys. 2018. Vol. 2018. P. 1-8. DOI: 10.1155/2018/ 8301656. Sadybekov, M. A., Dildabek, G. and Ivanova, M. B. On an Inverse Problem of Reconstructing a Heat Conduction Process from Nonlocal Data, Advances in Mathematical Physics, 2018, vol. 2018, pp. 1-8. DOI: 10.1155/2018/8301656. 15 Al-Salti N., Kirane M., Torebek B. T. On a class of inverse problems for a heat equation with involution perturbation // Hacet. J. Math. Stat. 2019. Vol. 48, № 3. P. 669-681. Al-Salti, N., Kirane, M. and Torebek, B. T. On a Class of Inverse Problems for a Heat Equation with Involution Perturbation, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2019, vol. 48, no. 3, pp. 669-681. 16 Турметов Б. Х. Об одном обобщении третьей краевой задачи для уравнения Лапласа // Челяб. физ.-мат. журн. 2019. Т. 4, № 1. С. 33-41. DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14103. Turmetov, B. Kh. On one Generalization of the Third Boundary Value Problem for the Laplace Equation, Chelyabinskiy Fiziko-Matematicheskiy Zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2019, vol. 4, no. 1, pp. 33-41 (in Russian). DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14103. 17 Yarka U., Fedushko S., Vesely P. The Dirichlet problem for the perturbed elliptic equation // Mathematics. 2020. Vol. 8, № 12: 2108. P. 1-13. DOI: 10.3390/math8122108. Yarka, U., Fedushko, S. and Vesel\'{y, P. The Dirichlet Problem for the Perturbed Elliptic Equation, Mathematics, 2020, vol. 8, no. 12: 2108, pp. 1-13. DOI: 10.3390/math8122108. 18 Алтынбек Д. Н., Муратбекова М. А. Вопросы разрешимости некоторых краевых задач для уравнения высокого порядка с инволюцией // Междунар. научно-практическая конф. "Проблемы современной фундаментальной и прикладной математики" посвященная 30-летию независимости Республики Казахстан и 20-летию Казахстанского филиала МГУ им. М. В. Ломоносова. Нур-Султан: Казахстанский филиал МГУ им. М. В. Ломоносова, 2021. С. 85-88. Altynbek, D. N. and Muratbekova, M. A. Solvability Issues of Some Boundary Value Problems for a High-Order Equation with Involution, Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya "Problemy sovremennoy fundamental'noy i prikladnoy matematiki" posvyashchennaya 30-letiyu nezavisimosti Respubliki Kazakhstan i 20-letiyu Kazakhstanskogo filiala MGU imeni M. V. Lomonosova [International Scientific and Practical Conference "Problems of Modern Fundamental and Applied Mathematics" Dedicated to the 30th Anniversary of Independence of the Republic of Kazakhstan and the 20th Anniversary of the Kazakhstan Branch of M. V. Lomonosov Moscow State University], Nur-Sultan, Kazakhstan Branch of Moscow State University named after M. V. Lomonosov, 2021, pp. 85-88 (in Russian). 19 Kozhanov A. I., Bzheumikhova O. I. Elliptic and parabolic equations with involution and degeneration at higher derivatives // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 18: 3325. P. 1-10. DOI: 10.3390/ math10183325. Kozhanov, A. I. and Bzheumikhova, O. I. Elliptic and Parabolic Equations with Involution and Degeneration at Higher Derivatives, Mathematics, 2022, vol. 10, no. 18: 3325, pp. 1-10. DOI: 10.3390/math10183325. 20 Крицков Л. В., Сарсенби А. М. Спектральные свойства одной нелокальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 8. С. 990-996. DOI: 10.1134/S0374064115080026. Kritskov, L. V. and Sarsenbi, A. M. Spectral Properties of a Nonlocal Problem for a Second-Order Differential Equation with an Involution, Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 8, pp. 984-990. DOI: 10.1134/S0012266115080029. 21 Baskakov A. G., Uskova N. B. Fourier method for first order differential equations with involution and groups of operators // Ufa Math. J. 2018. Vol. 10, № 3. P. 11-34. DOI: 10.13108/2018-10-3-11. Baskakov, A. G. and Uskova, N. B. Fourier Method for First Order Differential Equations with Involution and Groups of Operators, Ufa Mathematical Journal, 2018, vol. 10, no. 3, pp. 11-34. DOI: 10.13108/ 2018-10-3-11. 22 Бурлуцкая М. Ш. О некоторых свойствах дифференциальных уравнений и смешанных задач с инволюцией // Вестн. ВГУ. Сер.: Физика. Математика. 2019. № 1. С. 91-100. Burlutskaya, M. Sh. On Some Properties of Differential Equations and Mixed Problems with an Involution, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2019, no. 1, pp. 91-100 (in Russian). 23 Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с. Bellman, R. and Cook, K. Differentsial'no-raznostnyye uravneniya [Differential-Difference Equations], Moscow, Mir, 1967, 548 p. (in Russian). 24 Герсеванов Н. М. Итерационное исчисление и его приложения. М.: Машстройиздат, 1950. 68 с. Gersevanov, N. M. Iteratsionnoye ischisleniye i yego prilozheniya [Iterative Calculus and its Applications], Moscow, Mashstroyizdat, 1950, 68 p. (in Russian). 25 Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 368 с. Pliss, V. A. Nelokal'nyye problemy teorii kolebaniy [Nonlocal Problems of the Theory of Oscillations], Moscow, Nauka, 1964, 368 p. (in Russian). 26 Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304. Ionkin, N. I.The Solution of a Certain Boundary Value Problem of the Theory of Heat Conduction with a Nonclassical Boundary Condition, Differentsial'nye Uravneniya [Differential Equations], 1977, vol. 13, no 2, pp. 294-304 (in Russian). 27 Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 c. Ladyzhenskaya, O. A. and Uraltseva, N. N. Lineynyye i kvazilineynyye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type], Moscow, Nauka, 1973, 576 p. (in Russian). 28 Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I // Соврем. матем. Фундам. направл. 2007. Т. 26. С. 3-132. Skubachevskii, A. L. Nonclassical Boundary Value Problems. I, Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 155, no. 2, pp. 199-334. DOI: 10.1007/s10958-008-9218-9. 29 Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II // Соврем. матем. Фундам. направл. 2009. Т. 33. С. 3-179. Skubachevskii, A. L. Nonclassical Boundary Value Problems. II, Journal of Mathematical Sciences, 2010, vol. 166, no. 4, pp. 377-561. DOI: 10.1007/s10958-010-9873-5. 30 Гущин А. К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 2. С. 37-58. Gushchin, A. K. and Mikhailov, V. P. On the Continuity of the Solutions of a Class of Non-Local Problems for an Elliptic Equation, Sbornik: Mathematics, 1995, vol. 186, no 2, pp. 197-219. DOI: 10.1070/ SM1995v186n02ABEH000012. 31 Kozhanov A. I. Nonlocal problems with integral conditions for elliptic equations // Compl. Var. Elliptic Equ. 2018. Vol. 64, № 5. P. 741-752. DOI: 10.1080/17476933.2018.1501038. Kozhanov, A. I. Nonlocal Problems with Integral Conditions for Elliptic Equations, Complex Variables and Elliptic Equations, 2018, vol. 64, no. 5, pp. 741-752. DOI: 10.1080/17476933.2018.1501038. 32 Кожанов А. И., Дюжева А. В. Корректность обобщенной задачи Самарского - Ионкина для эллиптических уравнений в цилиндрической области // Дифференц. уравнения. 2023. T. 59, № 2. С. 223-235. DOI: 10.31857/S0374064123020085. Kozhanov, A. I. and Dyuzheva, A. V. Well-Posedness of the Generalized Samarskii-Ionkin Problem for Elliptic Equations in a Cylindrical Domain, Differencial'nye Uravneniya [Differential Equations], 2023, vol. 59, no. 2, pp. 223-235 (in Russian). DOI: 10.31857/S0374064123020085. 33 Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с. Sobolev, S. L. Nekotoryye primeneniya funktsional'nogo analiza v matematicheskoy fizike [Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics], Moscow, Nauka, 1988, 336 p. (in Russian). 34 Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с. Trenogin, V. A. Funktsional'nyy analiz [Functional Analysis], Moscow, Nauka, 1980, 495 p. (in Russian). 35 Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Heidelberg: Barth, 1995. Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators,Heidelberg, Barth, 1995.