1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

On Some Interpolation Inequalities Due to Olga Ladyzhenskaya and Nonlinear Partial Differential Equations

О некоторых интерполяционных неравенствах, полученных О. А. Ладыженской, и нелинейных уравнениях в частных производных

10.46698/e0942-9744-3775-a

17178

09 2025

27 3 40 49

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17227&SECTION_ID=636

Дегтярёв

С. П.

Degtyarev

S. P.

spdegt@mail.ru

Московский технический университет связи и информатики, Россия, 111024, Москва, ул. Авиамоторная, 8a Moscow Technical University of Communications and Informatics, 8a Aviamotornaya St., Moscow 111024, Russia

We consider some multiplicative interpolation inequalities between the Holder space and the Lebesgue space. Multiplicative interpolation inequalities of the Gagliardo-Nirenberg type are used in the investigations of partial differential equations. Several such inequalities involving the Holder norm (seminorm) were already proved and applied. In the present paper we generalise previous results to the anisotropic "parabolic" case with another simple proof due to idea of Olga Ladyzhenskaya. The manuscript also contains an application of such Gagliardo-Nirenberg type inequality with the Holder norm. Some integral estimate and this inequality give a priori estimate of the solution to quasilinear parabolic problem in the smooth Holder classes. Moreover, using this a priori estimate, we establish the existence of solution of the quasilinear parabolic problem. In order to prove multiplicative inequality of the Gagliardo-Nirenberg type with the Holder norm we use an equivalent normalization of the higher order Holder spaces over higher order finite differences. The key technical tool is the representation of a function \(u(x,t)\) at an arbitrary fixed point \((x,t)\) over a higher order finite difference at this point and the corresponding additional sum of values at neighboring points. After that we integrate with respect to the neighboring points over the balls \(B_{r}((x,t))\) of small radius \(r\). Estimating the finite difference over the corresponding Holder seminorm, we obtain an additive inequality with the parameter \(r\), involving the Holder and integral norms. Optimizing this inequality over \(r\) we get the multiplicative estimate of the Gagliardo-Nirenberg type with the Holder norm and the Lebesgue norm.

В статье рассмотрены некоторые мультипликативные интерполяционные неравенства между пространствами Гельдера и Лебега. Мультипликативные интерполяционные неравенства типа Гальярдо - Ниренберга широко используются в исследованиях по дифференциальным уравнениям вчастных производных. Ранее были доказаны и применены несколько типов таких неравенств, включающих норму (полунорму) Гельдера. Настоящая статья обобщает имеющиеся результаты на случай анизотропных "параболических" пространств, предлагая простое доказательство, основанное на идее О. А. Ладыженской. В работе приводится применение такого неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера. Используя более слабую интегральную оценку, это неравенство позволяет легко получить априорную оценку решения квазилинейной параболической задачи в гладких классах Гельдера. На основании этой априорной оценки устанавливается существование решения этой задачи. Для доказательства мультипликативного неравенства типа Гальярдо - Ниренберга с нормой Гельдера используется эквивалентная нормировка пространств Гельдера высоких порядков в терминах поведения конечных разностей высокого порядка. Ключевой технический прием заключается в представлении значения функции \(u(x, t)\) в произвольной точке \((x, t)\) в терминах ее конечной разности высокого порядка вэтой точке, а также добавочной суммы значений функции в соседних точках. После этого производится интегрирование по соседним точкам по шарам \(B_{r}((x, t))\) малого радиуса \(r\) с центром в \((x, t)\). Оценивая конечную разность через полунорму Гельдера, мы приходим к аддитивному неравенству с параметром\(r\), которое включает полунорму Гельдера и интегральную норму. Наконец, оптимизируя полученное аддитивное неравенство по параметру \(r\), приходим непосредственно к мультипликативному неравенству, включающему нормы Гельдера и Лебега.

интерполяционные неравенства априорные оценки нелинейные дифференциальные уравнения

interpolation inequalities a priori estimates nonlinear PDE

Lunardi, A. Interpolation Theory, Lecture Notes (Scuola Normale Superiore), Pisa, Edizioni Della Normale, 2018, 200 p. DOI: 10.1007/978-88-7642-638-4.

Lunardi, A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 16, Basel, Birkhauser Verlag, 1995, 424 p.

Triebel, H. Theory of Function Spaces II, Reprint of the 1992 Edition, Birkhauser, Basel, Modern Birkhauser Classics, 2010, 370 p. DOI: 10.1007/978-3-0346-0419-2.

Kufner, A. and Wannebo, A. An Interpolation Inequality Involving Holder Norms, Georgian Mathematical Journal, 1995, vol. 2, no. 6, pp. 603-612. DOI: 10.1007/BF02262857.

Mengxia Dong. Gagliardo-Nirenberg Inequality with Holder Norms, arXiv: 2405.00941, 2024. URL: <a href="https://arxiv.org/abs/2405.00941">https://arxiv.org/abs/2405.00941</a>.

Triebel, H. Gagliardo-Nirenberg Inequalities, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2014, vol. 284, pp. 263-279. DOI: 10.1134/S0081543814010192.

Kolyada, V. I. and Perez Lazaro, F. J. On Gagliardo-Nirenberg Type Inequalities, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2014, vol. 20, pp. 577-607. DOI: 10.1007/s00041-014-9320-y.

Soudsky, F., Molchanova, A. and Roskovec, T. Interpolation Between Holder and Lebesgue Spaces with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 466, no. 1, pp. 160-168. DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.05.067.

Wei, W., Wang, Y. and Ye, Y. Gagliardo-Nirenberg Inequalities in Lorentz Type Spaces, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2023, vol. 29, article no. 35, DOI: 10.1007/s00041-023-10018-2.

Strzelecki, P. Gagliardo-Nirenberg Inequalities with a BMO Term, Bulletin of the London Mathematical Society, 2006, vol. 38, no. 2, pp. 294-300. DOI: 10.1112/S0024609306018169.

Ladyzhenskaya, O. A. A Theorem on Multiplicators in Nonhomogeneous Holder Spaces and Some of Its Applications, Journal of Mathematical Sciences, New York, 2003, vol. 115, no. 6, pp. 2792-2802. DOI: 10.1023/A:1023373920221.

Solonnikov, V. A. Estimates for Solutions of a Non-Stationary Linearized System of Navier-Stokes Equations, Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Part 1, Collection of Articles, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, Moscow-Leningrad, Nauka, 1964, vol. 70, pp. 213-317 (in Russian).

Golovkin, K. K. On Equivalent Normalizations of Fractional Spaces, Automatic Programming, Numerical Methods and Functional Analysis, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, Moscow-Leningrad, 1962, vol. 66, pp. 364-383 (in Russian).

Ladyzhenskaya, O. A., Solonnikov, V. A. and Uraltseva, N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type,Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 1968, vol. 23, 648 p.