1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Stoilow Factorization of the Heisenberg Group

Факторизация Стоилова на группе Гейзенберга

10.46698/o8833-7719-4418-f

17180

09 2025

27 3 50 59

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17229&SECTION_ID=636

Дорохин

Д. К.

Dorokhin

D. K.

d.dorokhin@g.nsu.ru

Новосибирский государственный университет, Россия, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 1 Novosibirsk State University, 1 Pirogov St., Novosibirsk 630090, Russia

In this article we study the properties of quasiconformal mappings on the Heisenberg group $\Bbb H^1$ and consider the definition of quasiconformal mappings in terms of the Beltrami equation. In particular, we obtain an explicit expression for the Beltrami coefficient for the composition of two quasiconformal mappings and we prove an analogue of the Stoilow factorization theorem on the plane. Namely, if the Beltrami coefficients of two quasiconformal mappings are equal almost everywhere, then there exists a conformal mapping such that by acting on one of the given quasiconformal mappings from the left, we obtain another given mapping. As an application of these results on the Heisenberg group $\Bbb H^1$ we compute the Beltrami coefficients of some quasiconformal mappings and we prove a theorem on the images of quasi-Brownian motions. In specific examples we demonstrate the invariance of the Beltrami coefficient under the action of the composition of a conformal function on the corresponding left mapping. Using the Stoilow factorization on the Heisenberg group, we show that if two quasi-Brownian motions have the corresponding Beltrami coefficients equal almost everywhere, then their trajectories are equivalent only if the conformal map in the Stoilov factorization is a map obtained from a composition of translations, rotations and dilations.

В данной статье мы исследуем свойства квазиконформных отображений на группе Гейзенберга $\Bbb H^1$ и рассматриваем определение квазиконформных отображений через уравнение Бельтрами. В частности, получено явное выражение коэффициента Бельтрами для композиции двух квазиконформных отображений и доказан аналог факторизационной теоремы Cтоилова на плоскости. А именно, если коэффициенты Бельтрами двух квазиконформных отображений почти всюду равны, то существует конформное отображение такое, что подействовав им слева на какой-то из данных квазиконформных отображений, мы получим другое заданное отображение. В качестве применения полученных результатов на группе Гейзенберга $\Bbb H^1$ вычислены коэффициенты Бельтрами некоторых квазиконформных отображений, и доказана теорема об образах квазиброуновских движений. В конкретных примерах мы демонстрируем инвариантность коэффициента Бельтрами под действием на соответствующее отображение слева композицией конформной функции. С помощью доказанной факторизации Стоилова на группе Гейзенберга, мы показали, что если у двух квазиброуновских движений их соответствующие коэффициенты Бельтрами равны почти всюду, то их траектории эквивалентны только в случае, если конформное отображение в факторизации Стоилова есть отображение, полученное из композиции сдвигов, поворотов и растяжений.

группа Гейзенберга факторизация Стоилова квазиконформные отображения система Бельтрами броуновское движение

Heisenberg group Stoilow factorization quasiconformal mappings Beltrami system Brownian motion

Astala, K., Iwaniec, T. and Martin, G. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane, Princeton, Princeton University Press, 2009, 696 p. DOI: 10.1515/ 9781400830114.

Stoilow, S. Lecons Sur les Principes Topologiques de la Theorie des Fonctions Analytiques Professees a la Sorbonne et a l'Universite de Cernauti,Paris, Gauthier-Villars, 1938.

Stoilow, S. Lecons Sur les Principes Topologiques de la Theorie des Fonctions Analytiques Professees a la Sorbonne et a l'Universite de Cernauti, Paris, Gauthier-Villars, 1938.

Reshetnyak, Y. G. Space Mappings with Bounded Distortion,Siberian Mathematical Journal, 1967, vol. 8, pp. 466-487. DOI: 10.1007/BF02196429.

Reshetnyak, Y. G. Space Mappings with Bounded Distortion, Siberian Mathematical Journal, 1967, vol. 8, pp. 466-487. DOI: 10.1007/BF02196429.

Mostow, G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces,Princeton University Press, 1973, 204 p.

Mostow, G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces, Princeton University Press, 1973, 204 p.

Mostow, G. D. Quasi-Conformal Mappings in $n$-Spaces and the Rigidity of HyperbolicSpace Forms, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques,1968, vol. 34, pp. 53-104. DOI: 10.1007/BF02684590.

Mostow, G. D. Quasi-Conformal Mappings in $n$-Spaces and the Rigidity of Hyperbolic Space Forms, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques, 1968, vol. 34, pp. 53-104. DOI: 10.1007/BF02684590.

Gromov, M. Groups of Polynomial Growth and Expanding Maps, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques,1981, vol. 53, pp. 53-78. DOI: 10.1007/BF02698687.

Gromov, M. Groups of Polynomial Growth and Expanding Maps, Publications Mathematiques de l'Institut des Hautes Scientifiques, 1981, vol. 53, pp. 53-78. DOI: 10.1007/BF02698687.

Gromov, M. Structures Metriques Pour les Varietes Riemanniennes,United States, Boston, Birkhauser, 1999, 585 p.

Gromov, M. Structures Metriques Pour les Varietes Riemanniennes, United States, Boston, Birkhauser, 1999, 585 p.

Mitchell, J. On Carnot-Caratheodory Metrics, Journal of Differential Geometry, 1981,vol. 21, no. 1, pp. 35-45. DOI: 10.4310/jdg/1214439462.

Mitchell, J. On Carnot-Caratheodory Metrics, Journal of Differential Geometry, 1981, vol. 21, no. 1, pp. 35-45. DOI: 10.4310/jdg/1214439462.

Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen from Within, Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics, vol. 144,Basel, Birkhauser, 1981, pp. 79-323.DOI: 10.1007/978-3-0348-9210-0_2.

Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen from Within, Sub-Riemannian Geometry, Progress in Mathematics, vol. 144, Basel, Birkhauser, 1981, pp. 79-323.DOI: 10.1007/978-3-0348-9210-0_2.

Pansu, P. Metriques de Carnot-Caratheodory et Quasiisometries des EspacesSymetriques de Rang un, Annals of Mathematics,1989, vol. 129, pp. 1-60. DOI: 10.2307/1971484.

Pansu, P. Metriques de Carnot-Caratheodory et Quasiisometries des Espaces Symetriques de Rang un, Annals of Mathematics, 1989, vol. 129, pp. 1-60. DOI: 10.2307/1971484.

Koranyi, A. and Reimann, H. M. Foundations for the Theory of Quasiconformal Mappingson the Heisenberg Group, Advances in Mathematics, 1995, vol. 111, pp. 1-87. DOI: 10.1006/aima.1995.1017.

Koranyi, A. and Reimann, H. M. Foundations for the Theory of Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group, Advances in Mathematics, 1995, vol. 111, pp. 1-87. DOI: 10.1006/aima.1995.1017.

Vodopyanov, S. K. Monotone Functions and Quasiconformal Mappings on CarnotGroups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 6,pp. 1113-1136. DOI: 10.1007/BF02106736.

Vodopyanov, S. K. Monotone Functions and Quasiconformal Mappings on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 6, pp. 1113-1136. DOI: 10.1007/BF02106736.

Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. On Extension of Functions of Bounded Mean Oscillation from Domains in a Space of Homogeneous Type with Intrinsic Metric, Siberian Mathematical Journal, 1995, vol. 36, no. 5, pp. 873-901. DOI: 10.1007/BF02112531.

Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. Analytical Properties of QuasiconformalMappings on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal,1995, vol. 36, no. 6, pp. 1142-1151. DOI: 10.1007/BF02106836.

Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. Analytical Properties of Quasiconformal Mappings on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal, 1995, vol. 36, no. 6, pp. 1142-1151. DOI: 10.1007/BF02106836.

Vodopyanov, S. K and Greshnov, A. V. Continuation of Differentiable Functions and Quasiconformal Mappings on Carnot Groups, Doklady Akademii Nauk, 1996, vol. 348, no. 1, pp. 15-18.

Vodopyanov, S. K and Ukhlov, A. D. Approximately Differentiable Transformations andReplacement Variables on Nilpotent Groups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 1, pp. 70-89.DOI: 10.1007/BF02104760.

Vodopyanov, S. K and Ukhlov, A. D. Approximately Differentiable Transformations and Replacement Variables on Nilpotent Groups, Siberian Mathematical Journal, 1996, vol. 37, no. 1, pp. 70-89. DOI: 10.1007/BF02104760.

Koranyi, A. and Reimann, H. M. Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group, Inventiones Mathematicae, 1985, vol. 80, pp. 309-338.

Wu, Q. Ya and Wang, W. The Beltrami Equations for Quasiconformal Mappings on StrictlyPseudoconvex Hyperplanes, Siberian Mathematical Journal, 2012,vol. 53, no. 2, pp. 316-334. DOI: 10.1134/ S0037446612020140.

Wu, Q. Ya and Wang, W. The Beltrami Equations for Quasiconformal Mappings on Strictly Pseudoconvex Hyperplanes, Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 2, pp. 316-334. DOI: 10.1134/ S0037446612020140.

Isangulova, D. V. The Class of Mappings with Bounded Specific Oscillation,and Integrability of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal, 2007, vol. 48, no. 2, pp. 249-267.DOI: 10.1007/s11202-007-0025-1.

Isangulova, D. V. The Class of Mappings with Bounded Specific Oscillation, and Integrability of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups, Siberian Mathematical Journal, 2007, vol. 48, no. 2, pp. 249-267. DOI: 10.1007/s11202-007-0025-1.

Bonfiglioli, A., Lanconelli, E. and Uguzzoni, F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacian,Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2007.

Bonfiglioli, A., Lanconelli, E. and Uguzzoni, F. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacian, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2007.

Vodopyanov, S. K. Closure of Classes of Mappings with Bounded Distortion onCarnot Groups, Siberian Advances in Mathematics, 2004, vol. 14, no. 1, pp. 84-125.

Vodopyanov, S. K. Closure of Classes of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups, Siberian Advances in Mathematics, 2004, vol. 14, no. 1, pp. 84-125.

Platis, I. D. Quasiconformal Mappings on the Heisenberg Group: An Overview, Handbook of Teichmuller Theory, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 2016, vol. 6, pp. 375-393. DOI: 10.4171/161-1/12.

Bernard, A., Campbell, E. A. and Davie, A. M. Brownian Motions and Generalized Analytic and Inner Functions, Annales de l'Institut Fourier, 1979, vol. 29, no. 1, pp. 207-228.

Oksendal, B. Dirichlet Forms, Quasiregular Functions and Brownian Motion, Inventiones Mathematicae, 1988, vol. 91, pp. 273-297.

Evseev, N. A. Brownian Path Preserving Mappings on the Heisenberg Group, Journal of Mathematical Analysis and Applications,2025, vol. 548, no. 2, 129388. DOI: 10.1016/j.jmaa.2025.129388.

Evseev, N. A. Brownian Path Preserving Mappings on the Heisenberg Group, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2025, vol. 548, no. 2, 129388. DOI: 10.1016/j.jmaa.2025.129388.

Zijian, Le. Brownian Motion, Quasiconformal Mappings and the BeltramiEquation, A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy, University of Washington, 2021.

Zijian, Le. Brownian Motion, Quasiconformal Mappings and the Beltrami Equation, A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy, University of Washington, 2021.

Calin, O. Transience of Diffusions on Heisenberg and Grushin Distributions, Journal of Geometry and Physics, 2014, vol. 77, pp. 131-142. DOI: 10.1016/j.geomphys.2013.12.010.