1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) О пересечении абелевой и минимальной неабелевой подгрупп в конечных группах On Intersection of Abelian and Minimal Nonabelian Subgroups in Finite Groups 10.46698/h4871-7742-3837-a 17187 09 2025 27 3 75 81 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17187&SECTION_ID=635 Зенков В. И. Zenkov V. I. V1I9Z52@mail.ru Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, РОССИЯ, 620108, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, Russia Пусть \(G\) - конечная группа, \(A\) и \(B\) - подгруппы из \(G\). Через \(M=M_G(A,B)\) (соответственно \(m=m_G(A,B)\)) обозначается множество всех минимальных по включению (соответственно по порядку) пересечений вида \(A\cap B^g\), где \(g\in G\). Положим \(\min_G(A,B)=\langle m\rangle\) и \(\mbox{ Min}_G(A,B)=\langle M\rangle\). В 1994 г. автор доказал, что если \(A\) и \(B\) - абелевы подгруппы из \(G\), то \(\mbox{Min}_G(A,B)\le F(G)\). В данной работе дается другое доказательство этого результата. Кроме того, построена конечная группа \(G\), содержащая абелеву подгруппу \(A\), минимальную неабелеву подгруппу \(B\) и элементы \(g_1\) и \(g_2\) такие, что \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\), \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\), \(|A\cap B^{g_1}|=|A\cap B^{g_2}|\) и \(A\cap B^{g_1}\), \( A\cap B^{g_2}\in\min_G(A,B)\). Приведен пример группы \(G\) такой, что для некоторых \(g_1, g_2\in G\) имеем \(A\cap B^{g_1}\), \(A\cap B^{g_2}\in\mbox{\rm Min}_G(A,B)\), \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\) и \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\). Показано также, что существует группа \(G\) с нильпотентными подгруппами \(A\) и \(B\) такими, что \(m\subset M\) и \(\min_G(A,B) < \mbox{\rm Min}_G(A,B)\). Let \(G\) be a finite group with subgroups \(A\) and \(B\). Denote by \(M=M_G(A,B)\) (respectively, \(m=m_G(A,B)\)) the set of all minimal by inclusion (respectively, by order) intersections of the form \(A\cap B^g\), where \(g\in G\). Put \(\min_G(A,B)=\langle m\rangle\) and \(\mbox{\rm Min}_G(A,B)=\langle M\rangle\). In 1994 we proved that if \(A\) and \(B\) are abelian subgroups, then \(\mbox{\rm Min}_G(A,B)\le F(G)\). In the present paper, we give other proof of this result. Futhermore, we construct a finite group \(G\) such that it contan an abelian subgroup \(A\), a minimal non-abelian subgroup \(B\) and elements \(g_1\) and \(g_2\) with \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\), \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\), \(|A\cap B^{g_1}|=|A\cap B^{g_2}|\) and \(A\cap B^{g_1}\), \( A\cap B^{g_2}\in\min_G(A,B)\). We provide an example of a group \(G\) such that \(g_1, g_2\in G\) \(A\cap B^{g_1}\), \( A\cap B^{g_2}\in\mbox{\rm Min}_G(A,B)\), \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\), and \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\). Moreover, we show that there exists a group \(G\) with nilpotent subgroups \(A\) and \(B\) such that \(m\subset M\) and \(\min_G(A,B) < \mbox{\rm Min}_G(A,B)\). конечная группа абелева подгруппа пересечение подгрупп finite group abelian subgroup intersection of subgroups 1 Зенков В. И. Пересечения абелевых подгрупп в конечных группах // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 150-152. Zenkov, V. I. Intersections of Abelian Subgroups in Finite Groups, Mathematical Notes, 1994, vol. 56, no. 2, pp. 869-871. DOI: 10.1007/BF02110750. 2 Isaacs I. M. Finite Group Theory. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2008. 350 p. (Graduate Studies in Mathematics; Vol. 92). Isaacs, I. M. Finite Group Theory, Graduate Studies in Mathematics; vol. 92, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2008, 350 p. 3 Зенков В. И. О пересечениях абелевых и нильпотентных подгрупп в конечных группах. I // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. C. 128-131. Zenkov, V. I. On Intersections of Abelian and Nilpotent Subgroups in Finite Groups. I,Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplement Issues), 2016, vol. 295, no. 1, pp. S174-S177. DOI: 10.1134/S0081543816090182. 4 Maslova N. V. 2020 Ural workshop on group theory and combinatorics // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. P. 273-282. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-273-282. Maslova, N. V. 2020 Ural Workshop on Group Theory and Combinatorics,Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 273-282. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-273-282. 5 Зенков В. И. О пересечениях абелевых и нильпотентных подгрупп в конечных группах. II // Матем. заметки. 2019. Т. 105, № 3. C. 383-394. DOI: 10.4213/mzm11742. Zenkov, V. I. On Intersections of Abelian and Nilpotent Subgroups in Finite Groups. II,Mathematical Notes, 2019, vol. 105, no. 3, pp. 366-375. DOI: 10.1134/S0001434619030076. 6 Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of Finite Groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. Conway, J. H., Curtis, R. T., Norton, S. P., Parker, R. A. and Wilson, R. A. Atlas of Finite Groups, Oxford, Clarendon Press, 1985, 252 p.