1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Порождение группы \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны Generation of the Group \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute 10.46698/d7840-8893-1360-c 17190 09 2025 27 3 82 89 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17190&SECTION_ID=635 Казакова А. В. Kazakova A. V. alvkazakova@gmail.com Нужин Я. Н. Nuzhin Ya. N. nuzhin2008@rambler.ru Институт математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 Institute of Mathematics and Computer Science of Siberian Federal University, 79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia В 2002 г. второй автор данной статьи записал в Коуровской тетради следующую задачу (вопрос 15.67). А) Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? К настоящему времени эта задача решена только для групп Шевалле типа \(A_n\) (случай \(PSL_{n+1}\)), \(E_n\) и \(G_2\). Конечно, задачу А) можно рассматривать и для других однопорожденных колец, и не только для присоединенных групп Шевалле. Так, аналог задачи А) решен для групп \(PSL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(SL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) над кольцом целых гауссовых чисел \(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\), причем для некоторых малых размерностей \(n\leq 6\) ответ оказался отрицательный. В данной статье доказывается, что группа Шевалле \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) над кольцом целых гауссовых чисел порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. В качестве следствия получается, что для нее минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1, совпадает с \(5\). In 2002, the second author of this paper wrote down the following problem in the Kourovka notebook (question 15.67). A) What adjoint Chevalley groups (of normal type) over the ring of integers are generated by three involutions, two of which commute? This problem solved only for the Chevalley groups of type \(A_n\) (the case \(PSL_{n+1}\)), \(E_n\), and \(G_2\). Of course, problem A) can be consider for other one-generated rings, and not only for the adjoint Chevalley groups. The analogue of problem A) is solved for the groups \(PSL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) and \(SL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) over the ring of the Gaussian integers \(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\), and for some small dimensions \(n\leq 6\) the answer is negative. In this article we prove that the Chevalley group \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) over the ring of the Gaussian integers is generated by three involutions, two of which commute. As a consequence, the minimal number of generating involutions, whose product is equal to 1, coincides with 5. группа Шевалле кольцо целых гауссовых чисел порождающие тройки инволюций Chevalley group the ring of Gaussian integers generating triples of involutions 1 Tamburini M. C., Zucca P. Generation of certain matrix groups by three involutions, two of which commute // J. Algebra. 1997. Vol. 195, № 2. P. 650-661. DOI: 10.1006/jabr.1997.7055. Tamburini, M. C. and Zucca, P. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute, Journal of Algebra, 1997, vol. 195, no. 2, pp. 650-661. DOI: 10.1006/jabr.1997.7055. 2 The Kourovka Notebook. No. 20. Unsolved Problems in Group Theory / Eds. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. Novosibirsk: Sobolev Institute of Mathematics, 2022. The Kourovka Notebook. No. 20. Unsolved Problems in Group Theory, Eds. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro, Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics, 2022. 3 Нужин Я. Н. О порождаемости группы \(PSL_n(\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавк. мат. журн. 2008. Т. 10, № 1. С. 68-74. Nuzhin, Ya. N. On the Generation of the Group \(PSL_n(\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2008, vol. 10, no. 1, pp. 68-74 (in Russian). 4 Тимофеенко И. А. Порождаемость групп Шевалле типа \(E_l\) над кольцом целых чисел тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 807-820. DOI: 10.17377/semi.2017.14.068. Timofeenko, I. A. Generation of the Chevalley Groups of Type \(E_l\) over the Ring of Integers by Three Involutions, Two of Which Commute, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2017, vol. 14, pp. 807-820 (in Russian). DOI: 10.17377/semi.2017.14.068. 5 Timofeenko I. A. Generation of the Chevalley group of type \(G_2\) over the ring of integers by three involutions two of which commute // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2015. Vol. 8, № 1. P. 104-108. Timofeenko, I. A. Generation of the Chevalley Group of Type \(G_2\) over the Ring of Integers by Three Involutions Two of Which Commute, Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2015, vol. 8, no. 1, pp. 104-108. 6 Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On Generation of the group \(PSL_n (\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by three involutions, two of which commute // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2008. Vol. 1, № 2. P. 133-139. Levchuk, D. V. and Nuzhin, Ya. N. On Generation of the Group \(PSL_n (\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2008, vol. 1, no. 2, pp. 133-139. 7 Левчук Д. В. Порождаемость группы \(PSL_7(\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестн. НГУ. Сер. мат., мех., информ. 2009. Т. 9, № 1. C. 35-38. Levchuk, D. V. On the Generation of the Group \(PSL_7(\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Vestnik Novosibirskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya Matematika, Mekhanika, Informatika, 2009, vol. 9, no. 1, pp. 35-38 (in Russian). 8 Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две их которых перестановочны // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2022. Т. 40. С. 49-62. DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.49. Gvozdev, R. I., Nuzhin, Ya. N. and Shaipova, T. B. On Generation of the Groups \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) and \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Izvestija Irkutskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Serija Matematika [The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics], 2022, vol. 40, pp. 49-62 (in Russian). DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.49. 9 Всемирнов М. А., Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две их которых перестановочны. II // Мат. заметки. 2024. Т. 115, № 3. C. 317-329. DOI: 10.4213/mzm14048. Vsemirnov, M. A., Gvozdev, R. I., Nuzhin, Ya. N. and Shaipova, T. B. On the Generation of the Groups \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) and \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions Two of Which Commute. II, Mathematical Notes, 2024, vol. 115, no. 3, pp. 289-300. DOI: 10.1134/S0001434624030015. 10 Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496 с. Kostrikin, A. I. Introduction to Algebra, New York, Springer-Verlag, 1982, 575 p. 11 Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле М.: Мир, 1975. 263 с. Steinberg, R. Lectures on Chevalley Groups, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2016, 161 p. DOI: 10.1090/ulect/066. 12 Carter R. W. Simple Groups of Lie Type. London-New York-Sydney-Toronto: John Wiley and Sons, 1972. 335 p. Carter, R. W. Simple Groups of Lie Type, London-New York-Sydney-Toronto, John Wiley and Sons, 1972, 335 p. 13 Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980. 400 c. Humphreys, J. Linear Algebraic Groups, New York, Springer-Verlag, 1994, 255 p. 14 Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. 2019. Т. 58, № 3. С. 426-434. DOI: 10.33048/alglog.2019.58.310. Nuzhin, Ya. N. Generating Sets of Involutions of Finite Simple Groups, Algebra and Logic, 2019, vol. 58, no. 3, pp. 288-293. DOI: 10.1007/s10469-019-09547-x.