1683-34141814-0807Владикавказский математический журналVladikavkaz Mathematical JournalЮжный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)Конечные неразрешимые группы, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка". Случай \(q\leq 3\)Finite Non-Solvable Groups Whose Gruenberg-Kegel Graphs are Isomorphic to the Paw. Case \(q\leq 3\)10.46698/o5301-6902-4904-l1719409202527390100https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17194&SECTION_ID=635КондратьевА. С.Kondrat'evA. S.a.s.kondratiev@imm.uran.ruМинигуловН. А.MinigulovN. A.n.a.minigulov@imm.uran.ruНироваМ. С.NirovaM. S.nirova_m@mail.ru Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Уральский математический центр, РОССИЯ, 620108, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, Ural Mathematical Center, 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, RussiaКабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevsky St., Nalchik 360004, RussiaГраф Грюнберга - Кегеля \(\Gamma(G)\) (или граф простых чисел) конечной группы \(G\) - это граф, в котором вершинами служат все простые делители порядка группы \(G\), и две различные вершины \(p\) и \(q\)
смежны тогда и только тогда, когда \(G\) содержит элемент порядка \(pq\). Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп c заданными свойствами их графов Грюнберга - Кегеля. В 2012-2013 гг. первый автор описал конечные группы с графом Грюнберга - Кегеля как для группы \({\rm Aut}(J_2)\), так и для группы \(A_{10}\). Графы Грюнберга - Кегеля этих групп изоморфны (как абстрактные графы) графу "балалайка". Граф "балалайка" - это граф на четырех вершинах, степени которых равны \(1\), \(2\), \(2\) и \(3\). Обобщая упомянутые результаты А. С. Кондратьева, мы рассматриваем проблему описания конечных групп, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка". В 2018 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов доказали, что если \(G\) - конечная неразрешимая группа играф \(\Gamma(G)\) изоморфен графу "балалайка", то фактор-группа \(G/S(G)\) группы \(G\) по ее разрешимому радикалу \(S(G)\) почти проста. Кроме того, были класcифицированы все конечные почти простые группы, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны подграфам графа "балалайка". В двух работах 2022 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов описали все конечные разрешимые группы с графом Грюнберга - Кегеля, изоморфным графу "балалайка". Кроме того, были классифицированы конечные неразрешимые группы \(G\), графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка", в следующих двух случаях: \((1)\) группа \(G\) не содержит элементов порядка 6; \((2)\) группа \(G\) содержит элемент порядка 6 и вершина степени \(1\) графа \(\Gamma(G)\) делит \(|S(G)|\). В этой работе продолжается исследование проблемы и изучается ее важный новый случай, когда в конечной неразрешимой группе \(G\) с графом Грюнберга - Кегеля, изоморфным графу "балалайка", вершина степени \(1\) графа \(\Gamma(G)\) не превосходит \(3\).The Gruenberg-Kegel graph \(\Gamma(G)\) (or the prime graph)of a finite group \(G\) is the graph such that the vertex set is the set of all prime divisors of the order of \(G\) and two different vertices \(p\) and \(q\) are adjacent if and only if there exists an element of order \(pq\) in \(G\). One of popular directions of researches in finite group theory is the study of finite groups with given properties of their Gruenberg-Kegel graphs. In 2012-2013 the first author described finite groups with the Gruenberg-Kegel graph as for the group \({\rm Aut}(J_2)\) and as for the group \(A_{10}\). The Gruenberg-Kegel graphs of groups \(A_{10}\) and \({\rm Aut}(J_2)\) are isomorphic (as abstract graphs) to the paw. The paw is the graph with four vertices whose degrees are 1, 2, 2, and 3. Generalizing these results, we consider the problem of describing finite groups such that the Gruenberg-Kegel graphs of these groups are isomorphic to the paw. In 2018 Kondrat'ev and Minigulov proved that if \(G\) is a finite non-solvable group and the graph \(\Gamma(G)\) is isomorphic to the paw, then the quotion group \(G/S(G)\) of the group \(G\) by its solvable radical \(S(G)\) is almost simple. Moreover, they classified all finite almost simple groups \(G\) such that the graphs \(\Gamma(G)\) of these groups are isomorphic to subgraphs of the paw. In 2022 Kondrat'ev and Minigulov described all finite solvable groups such that the Gruenberg-Kegel graph is isomorphic to the paw. Moreover, they classified finite non-solvable groups \(G\), where the Gruenberg-Kegel graphs of these groups are isomorphic to the paw, in the following cases: \((1)\) \(G\) does not contain elements of order \(6\); \((2)\) \(G\) has an element of order \(6\) and the vertex of degree \(1\) of the graph \(\Gamma(G)\) divides \(|S(G)|\). In this manuscript we continue the investigation of this problem and study its important new case of a finite non-solvable group \(G\) such that the Gruenberg-Kegel graph of this group is isomorphic to the paw, where the vertex of degree \(1\) of the graph \(\Gamma(G)\) does not exceed 3.конечная группанеразрешимая группаграф Грюнберга - Кегеляграф "балалайка"finite groupnon-solvable groupGruenberg-Kegel graphpawКондратьев А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы \({\rm Aut(J_2)}\) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 3. С. 131-138.<div> 1. Kondrat'ev, A. S. Finite Groups Having the Same Prime Graph as the Group \({\rm Aut(J_2)}\), Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2013, vol. 283, suppl. 1, pp. 78-85. DOI: 10.1134/S0081543813090071.Кондратьев А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы \(A_{10}\) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 136-143.Kondrat'ev, A. S. Finite Groups that Have the Same Prime Graph as the Group \(A_{10}\), Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2014, vol. 285, suppl. 1, pp. 99-107. DOI: 10.1134/S0081543814050113.Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. Finite almost simple groups whose Gruenberg-Kegel graphs as abst\-ract graphs are isomorphic to subgraphs of the Gruenberg-Kegel graph of the alternating group \(A_{10}\) // Siberian Electr. Math. Rep. 2018. Vol. 15. P. 1378-1382. DOI: 10.17377/semi.2018.15.113.Kondrat'ev, A. S. and Minigulov, N. A. Finite Almost Simple Groups Whose Gruenberg-Kegel Graphs as Abstract Graphs are Isomorphic to Subgraphs of the Gruenberg-Kegel Graph of the Alternating Group \(A_{10}\), Siberian Electronic Mathematical Reports, 2018, vol. 15, pp. 1378-1382. DOI: 10.17377/ semi.2018.15.113.Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. Finite solvable groups whose Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2022. Vol. 28, № 2. P. 269-273. DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-269-273.Kondrat'ev, A. S. and Minigulov, N. A. Finite Solvable Groups Whose Gruenberg-Kegel Graphs are Isomorphic to the Paw, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 269-273. DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-269-273.Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. On finite non-solvable groups whose Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // Commun. Math. Stat. 2022. Vol. 10, № 4. P. 653-657. DOI: 10.1007/s40304-021-00242-x. 5. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных трипримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 150-158.Kondrat'ev, A. S. and Minigulov, N. A. On Finite Non-Solvable Groups Whose Gruenberg-Kegel Graphs are Isomorphic to the Paw, Communications in Mathematics and Statistics, 2022, vol. 10, no. 4, pp. 653-657. DOI: 10.1007/s40304-021-00242-x.Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 142-159.Kondrat'ev, A. S. and Khramtsov, I. V. On Finite Triprimary Groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2010, vol. 16, no. 3, pp. 150-158 (in Russian). </div><div>Кондратьев А. С., Храмцов И. В. Письмо в редакцию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 276-277. DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-276-277.Kondrat'ev, A. S. and Khramtsov, I. V. On Finite Tetraprimary Groups,</div> Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2012, vol. 279, suppl. 1, pp. 43-61. DOI: 10.1134/S0081543812090040.Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 263 с.Kondrat'ev, A. S. and Khramtsov, I. V. Letter to the Editors, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 276-277 (in Russian).Bray J. N., Holt D. F., Roney-Dougal C. M. The Maximal Subgroups of the Low-Dimensional Finite Classical Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. 438 p.Steinberg, R. Lectures on Chavalley Groups, New Haven, Yale University, 1967, 277 p.Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of Finite Groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.Bray, J. N., Holt, D. F. and Roney-Dougal, C. M. The Maximal Subgroups of the Low-Dimensional Finite Classical Groups, Cambridge, Cambridge University Press, 2013, 438 p.Gorenstein D. Finite Groups. New York: Harper and Row, 1968. 527 p.Conway, J. H., Curtis, R. T., Norton, S. P., Parker, R. A. and Wilson, R. A. Atlas of Finite Groups, Oxford, Clarendon Press, 1985, 252 p.Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin: Springer-Verlag, 1967. 793 p.Gorenstein, D. Finite Groups, New York, Harper and Row, 1968, 527 p.Huppert B., Blackburn N. Endliche Gruppen II. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 531 p.Huppert, B. Endliche Gruppen I, Berlin, Springer-Verlag, 1967, 793 p.Jansen C., Lux K., Parker R., Wilson R. An Atlas of Brauer Characters. New York: Clarendon Press, 1995. 327 p.Huppert, B. and Blackburn, N. Endliche Gruppen II, Berlin, Springer-Verlag, 1982, 531 p.Мазуров В. Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. 1997. T. 36, № 1. С. 37-53.Jansen, C., Lux, K., Parker, R. and Wilson, R. An Atlas of Brauer Characters, New York, Clarendon Press, 1995, 327 p.Stewart W. B. Groups having strongly self-centralizing 3-centralizers // Proc. London Math. Soc. 1973. Vol. s3-26, № 4. P. 653-680. DOI: 10.1112/plms/s3-26.4.653.Mazurov, V. D. Characterizations of Finite Groups by Sets of Orders of Their Elements, Algebra and Logic, 1997, vol. 36, no. 1, pp. 182-192. DOI: 10.1007/BF02671616.Higman G. Odd Characterizations of Finite Simple Groups: Lecture Notes. Michigan: Univ. Michigan, 1968. 77 p.Stewart, W. B. Groups Having Strongly Self-Centralizing 3-Centralizers, Proceedings of the London Mathematical Society, 1973, vol. s3-26, no. 4, pp. 653-680. DOI: 10.1112/plms/s3-26.4.653.Zavarnitsine A. V. Fixed points of large prime-order elements in the equicharacteristic action of linear and unitary groups // Siberian Electr. Math. Rep. 2011. Vol. 8. P. 333-340.Higman, G. Odd Characterizations of Finite Simple Groups: Lecture Notes, Michigan, University Michigan, 1968, 77 p.Кондратьев А. С., Осиновская А. А., Супруненко И. Д. О поведении элементов простого порядка из цикла Зингера в представлениях специальной линейной группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 179-186.Zavarnitsine, A. V. Fixed Points of Large Prime-Order Elements in the Equicharacteristic Action of Linear and Unitary Groups, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2011, vol. 8, pp. 333-340.Dornhoff L. Group Representation Theory, Part A: Ordinary Representation Theory. New York: Marcel Decker, 1971. 254 p.Kondrat'ev, A. S., Osinovskaya, A. A. and Suprunenko, I. D. On the Behavior of Elements of Prime Order from a Zinger Cycle in Representations of a Special Linear Group, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2014, vol. 285, suppl. 1, pp. 108-115. DOI: 10.1134/S0081543814050113.Белоногов В. А. О малых взаимодействиях в конечных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 3-18.Dornhoff, L. Group Representation Theory, Part A: Ordinary Representation Theory, New York, Marcel Decker, 1971, 254 p.Минигулов Н. А. Конечные почти простые 4-примарные группы со связным графом Грюнберга Кегеля // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 142-146. DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-142-146.Belonogov, V. A. On Small Interactions in Finite Groups, Trudy Instituta Matematiki i Mehaniki UrO RAN, 1992, vol. 2, pp. 3-18 (in Russian).Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, № 2. P. 487-513. DOI: 10.1016/0021-8693(81)90218-0.Minigulov, N. A. Finite Almost Simple 4-Primary Groups with Connected Gruenberg-Kegel Graph, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2020, vol. 309, suppl. 1, pp. 93-97. DOI: 10.1134/ S0081543820040112.Burkkhardt R. Der zerlegungsmatrizen der gruppen \(PSL(2, p^f)\) // J. Algebra. 1976. Vol. 40, № 1. P. 75-96. DOI: 10.1016/0021-8693(76)90088-0.Williams, J. S. Prime Graph Components of Finite Groups, Journal of Algebra, 1981, vol. 69, no. 2, pp. 487-513. DOI: 10.1016/0021-8693(81)90218-0.Dornhoff L. Group Representation Theory, Part B: Modular Representation Theory. New York: Marcel Decker, 1972. 270 p.Burkkhardt, R. Der Zerlegungsmatrizen der Gruppen \(PSL\big(2, p^f\big)\), Journal of Algebra, 1976, vol. 40, no. 1, pp. 75-96. DOI: 10.1016/0021-8693(76)90088-0.Fleischmann P., Lempken W., Tiep P. H. Finite \(p'\)-semiregular groups // J. Algebra. 1997. Vol. 188, № 2. P. 547-579. DOI: 10.1006/jabr.1996.6858.Dornhoff, L. Group Representation Theory, Part B: Modular Representation Theory, New York, Marcel Decker, 1972, 270 p.