1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Subgroups Generated by a Pair of 2-Tori in \(\operatorname{GL}(4,K)\), II Подгруппы, порожденные парой 2-торов в \(GL(4,K)\). II 10.46698/t9254-6010-7867-w 17197 09 2025 27 3 101 119 https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17248&SECTION_ID=636 Нестеров В. В. Nesterov V. V. vl.nesterov@mail.ru Чжан М. Zhang M. meilingzhang51@gmail.com Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр., 28 Saint Petersburg State University, 28 Universitetskii Ave., St. Petersburg 198504, Russia The present paper is the next in a large series of works devoted to the geometry of microweight tori in the Chevalley groups. Namely, we describe the subgroups generated by a pair of 2-tori in \(\operatorname{GL}(4,K)\). Recall that 2-tori in \(\operatorname{GL}(n,K)\) are the subgroups conjugate to the diagonal subgroup of the following form \(\operatorname{diag}(\varepsilon, \varepsilon, 1,\dots, 1)\). In one of the previous work we proved the reduction theorem for the pairs of \(m\)-tori. It follows that any pair of 2-tori can be embedded in \(\operatorname{GL}(6,K)\) by simultaneous conjugation. The orbit of a pair of 2-tori \((X,Y)\) is called the orbit in \(\operatorname{GL}(n,K)\), if the pair \((X,Y)\) is embedded in \(\operatorname{GL}(n,K)\) by simultaneous conjugation and it can not be embedded in \(\operatorname{GL}(n-1,K)\). Here \(n\) can take values 3, 4, 5 and 6. The most difficult and general case is the case of \(\operatorname{GL}(4,K)\). In the article we describe spans in \(\operatorname{GL}(4,K)\), corresponding to degenerate orbits. Данная статья является очередной работой в большом цикле работ, посвященном геометрии микровесовых торов в группах Шевалле. А именно, мы описываем подгруппы, порожденные парой 2-торов в \(\operatorname{GL}(4,K)\). Напомним, что 2-торами в \(\operatorname{GL}(n,K)\) являются подгруппы, сопряженные диагональной подгруппе вида \(\operatorname{diag}(\varepsilon, \varepsilon, 1,\dots,1)\). В одной из предыдущих работ мы доказали теорему редукции для пары \(m\)-торов. Из нее следует, что любая пара 2-торов может быть вложена в \(\operatorname{GL}(6,K)\) одновременным сопряжением. Орбита пары 2-торов \((X,Y)\) называется орбитой в \(\operatorname{GL}(n,K)\), если пара \((X,Y)\) вкладывается в \(\operatorname{GL}(n,K)\) одновременным сопряжением и не вкладывается в \(\operatorname{GL}(n-1,K)\). Здесь \(n\) может принимать значения 3, 4, 5 и 6. Наиболее сложным и общим случаем является случай \(\operatorname{GL}(4,K)\). В настоящей работе описаны порождения в \(\operatorname{GL}(4,K)\), соответствующие вырожденным орбитам. полная линейная группа унипотентная корневая подгруппа полупростые корневые подгруппы \(m\)-торы диагональные подгруппы general linear group unipotent root subgroups semisimple root subgroups \(m\)-tori diagonal subgroup 1 Vavilov, N. A. and Nesterov, V. V. Geometry of Microweight Tori, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2008, vol. 10, no. 1, pp. 10-23 (in Russian). Vavilov, N. A. and Nesterov, V. V. Geometry of Microweight Tori, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2008, vol. 10, no. 1, pp. 10-23 (in Russian). 2 Nesterov, V. V. and Vavilov, N. A. Pairs of Microweight Tori in \(\operatorname{GL_n}\), Chebyshevskii Sbornik, 2020, vol. 21, no. 4, pp. 152-161. DOI: 10.22405/2226-8383-2020-21-4-152-161. Nesterov, V. V. and Vavilov, N. A. Pairs of Microweight Tori in \(\operatorname{GL_n}\), Chebyshevskii Sbornik, 2020, vol. 21, no. 4, pp. 152-161. DOI: 10.22405/2226-8383-2020-21-4-152-161. 3 Vavilov, N. A. Geometry of \(1\)-Tori in \(\operatorname{GL_n}\), St. Petersburg Mathematical Journal, 2008, vol. 19, no. 3, pp. 407-429. DOI: 10.1090/S1061-0022-08-01004-2. Vavilov, N. A. Geometry of \(1\)-Tori in \(\operatorname{GL_n}\), St. Petersburg Mathematical Journal, 2008, vol. 19, no. 3, pp. 407-429. DOI: 10.1090/S1061-0022-08-01004-2. 4 Vavilov, N. A. and Nesterov, V. V. Subgroups Generated by a Pair of \(2\)-Tori in \(\operatorname{GL(5,K)}\), Zapiski nauchnyh seminarov POMI [Notes of Scientific Seminars of POMI], 2023, vol. 522, pp. 8-45 (in Russian). Vavilov, N. A. and Nesterov, V. V. Subgroups Generated by a Pair of \(2\)-Tori in \(\operatorname{GL(5,K)}\), Zapiski nauchnyh seminarov POMI [Notes of Scientific Seminars of POMI], 2023, vol. 522, pp. 8-45 (in Russian). 5 Nesterov, V. and Zhang, M. Subgroups Generated by a Pair of \(2\)-Tori in \(\operatorname{GL(4,K)}\). I, Zapiski nauchnyh seminarov POMI [Notes of Scientific Seminars of POMI], 2024, vol. 531, pp. 127-146. Nesterov, V. and Zhang, M. Subgroups Generated by a Pair of \(2\)-Tori in \(\operatorname{GL(4,K)}\). I, Zapiski nauchnyh seminarov POMI [Notes of Scientific Seminars of POMI], 2024, vol. 531, pp. 127-146. 6 Vavilov, N. A. Subgroups of Chevalley Groups Containing a Maximal Torus, Trudy Leningradskogo matematicheskogo obshchestva [Proceedings of the Leningrad Mathematical Society], 1990, vol. 1, pp. 64-109 (in Russian). Vavilov, N. A. Subgroups of Chevalley Groups Containing a Maximal Torus, Trudy Leningradskogo matematicheskogo obshchestva [Proceedings of the Leningrad Mathematical Society], 1990, vol. 1, pp. 64-109 (in Russian). 7 Vavilov, N. A. Weight Elements of Chevalley Groups, St. Petersburg Mathematical Journal, 2009, vol. 20, no. 1, p. 23-57. DOI: 10.1090/S1061-0022-08-01036-4. Vavilov, N. A. Weight Elements of Chevalley Groups, St. Petersburg Mathematical Journal, 2009, vol. 20, no. 1, p. 23-57. DOI: 10.1090/S1061-0022-08-01036-4.