1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) О порождении некоторых матричных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны On the Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of which Commute 10.46698/a1967-7824-2561-m 17200 09 2025 27 3 127 135 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17200&SECTION_ID=635 Шаипова Т. Б. Shaipova T. B. 663431@mail.ru Институт математики и фундаментальной информатики СФУ, РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 Institute of Mathematics and Computer Science of SibFU, 79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, назовем \((2\times 2,2)\)-порожденной. Известно, что специальная линейная группа \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) над кольцом целых гауссовых чисел \(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\) (соответственно ее фактор-группа по центру \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\)) является \((2\times 2,2)\)-порожденной тогда и только тогда, когда \(n\geq 5\) и \(n\neq 6\) (соответственно когда \(n\geq 5\)). Ясно, что общая линейная группа \(GL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) не является \((2\times 2,2)\)-порожденной, поскольку в ней есть матрицы с определителем, отличным от \(\pm 1\), а определитель любой ее инволюции равен \(\pm 1\). Известно также, что группа \(PGL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) является \((2\times 2,2)\)-порожденной тогда и только тогда, когда \(n\geq 5 \) и \(4\) не делит \(n\). В данной статье задача о \((2\times 2,2)\)-порожденности рассматривается для группы матриц \(GL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) с определителем \(\pm 1\) над кольцом целых гауссовых чисел и ее фактор-группы по центру \(PGL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\). A group generated by three involutions two of which commute, is called \((2\times 2,2)\)-generated. It is known that the special linear group \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) over the ring of the Gaussian integers \(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\) (respectively, its quotient group by the center \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\)) is \((2\times 2,2)\)-generated if and only if \(n\geq 5\) and \(n\neq 6\) (respectively, when \(n\geq 5\)). It is clear that the general linear group \(GL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) is not \((2\times 2,2)\)-generated, since it contains matrices with determinant different from \(\pm 1\), and the determinant of any of its involutions is equal to \(\pm 1\). It is also known that the group \(PGL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) is generated by three involutions if and only if two of them commute when \(n\geq 5 \) and \(4\) does not divide \(n\). In this paper we consider the problem on \((2\times 2,2)\)-generation for the matrix group \(GL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) with determinant \(\pm 1\) over the ring of the Gaussian integers and for its quotient group by the center \(PGL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\). общая и проективная линейные группы кольцо целых гауссовых чисел порождающие тройки инволюций general and projective linear groups the ring of Gaussian integers generating triples of involutions 1 Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On generation of the group \(PSL_n (\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by three involutions, two of which commute // Журн. Сиб. федер. ун-та. Сер. Матем. и физ. 2008. Т. 1, вып. 2. С. 133-139 (in English). Levchuk, D. V. and Nuzhin, Ya. N. On Generation of the Group \(PSL_n (\mathbb{Z}+ i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2008, vol. 1, no. 2, pp. 133-139. 2 Левчук Д. В. Порождаемость группы \(SL_7(\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2009. Т. 9, № 1. C. 35-38. Levchuk, D. V. On the Generation of the Group \(SL_7(\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, Vestnik Novosibirskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya Matematika, Mekhanika, Informatika, 2009, vol. 9, no. 1 pp. 35-38 (in Russian). 3 Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2022. Т. 40. С. 49-62. DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.49. Gvozdev, R. I., Nuzhin, Ya. N. and Shaipova, T. B. On Generation of the Groups \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) and \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of Which Commute, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 40, pp. 49-62 (in Russian). DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.49. 4 Всемирнов М. А., Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны. II // Матем. заметки. 2024. Т. 115, № 3. C. 317-329. DOI: 10.4213/mzm14048. Vsemirnov, M. A., Gvozdev, R. I., Nuzhin, Ya. N. and Shaipova T. B. On the Generation of the Groups \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) and \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions Two of Which Commute. II, Mathematical Notes, 2018, vol. 115, pp. 289-300. DOI: 10.1134/S0001434624030015. 5 Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(PGL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2024. Т. 50. С. 143-151. DOI: 10.26516/1997-7670.2024.50.143. Nuzhin, Ya. N. and Shaipova, T. B. On Generation of the Groups \(PGL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) by Three Involutions, Two of which Commute, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2024, vol. 50, pp. 143-151 (in Russian). DOI: 10.26516/1997-7670.2024.50.143. 6 Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. 2019. Т. 58, № 3. С. 426-434. DOI: 10.33048/alglog.2019.58.310. Nuzhin, Ya. N. Generating Sets of Involutions of Finite Simple Groups, Algebra and Logic,2019, vol. 58, no. 3, pp. 288-293. DOI: 10.1007/s10469-019-09547-x.