1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Lattice Sequence Spaces and Summing Mappings

Банаховы решетки последовательностей и суммирующие отображения

10.46698/r7902-6696-2150-a

17975

12 2025

27 4 21 37

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18013&SECTION_ID=647

Дахман

А.

Dahmane

dahmane.achour@univ-msila.dz

Туфик

Т.

Toufik

t.tiaiba@essaia.dz

Университет Мохамеда Будиафа М'Сила, \\ Лаборатория функционального анализа и геометрии пространств, М'Сила 28000, Алжир Laboratory of Functional Analysis and Geometry of Spaces, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of M’Sila, M'Sila 28000, Algeria

Университет Мохамеда Будиафа М'Сила,\\ Высший колледж пищевых наук и пищевой промышленности, М'Сила, Алжир Laboratory of Functional Analysis and Geometry of Spaces, University of M'Sila, High College of Food Sciences and Food Industries, Algiers 16200, Algeria

This paper contributes to the theory of positive summing operators between Banach lattices by exploring the interplay between specialized sequence spaces, operator ideals, and tensor product techniques. We focus on the spaces of positive strongly \(p\)-summable sequences \(\ell_p^{\pi}(X)\) and positive unconditionally \(p\)-summable sequences \(\ell_{p,|\omega|}^u(X)\), utilizing them alongside the Banach lattice of positive weakly \(p\)-summable sequences \(\ell_{p,|\omega|}(X)\) . These tools are employed to present and characterize three central classes: positive strongly \((p,q)\)-summing operators, positive \((p,q)\)-summing operators, and positive Cohen \((p,q)\)-nuclear operators. Our investigation yields new properties, including the characterization of positive \((p,q)\)-summing operators as those which map positive unconditionally \(p\)-summable sequences into \(q\)-summable sequences, and the identification of the positive strongly \((p,q)\)-summing class with the class of \((p,q)\)-majorizing operators. A central achievement of this work is the unified characterization of these operator classes via tensor product continuity, a method well-established for linear operator ideals that we now extend to the context of Banach lattices. We characterize each class by the continuity of an associated tensor operator \(I \otimes T : \ell_p \otimes_\alpha X \to \ell_q \otimes_\beta Y\) for appropriate tensor norms \(\alpha\) and \(\beta\). This approach provides a powerful and cohesive framework that deepens the connections between summability, the order structure of Banach lattices, and tensor norms.

Данная работа относится к теории положительных суммирующих операторов между банаховыми решетками, исследуя взаимодействие между специализированными пространствами последовательностей, операторными идеалами и методами тензорного произведения. Мы фокусируемся на пространствах положительных сильно \(p\)-суммируемых последовательностей \(\ell_p^{\pi}(X)\) и положительных безусловно \(p\)-суммируемых последовательностей \(\ell_{p,|\omega|}^u(X)\), используя их наряду с банаховой решеткой положительных слабо \(p\)-суммируемых последовательностей \(\ell_{p,|\omega|}(X)\). Эти инструменты применяются для представления и характеристики трех основных классов: положительных сильно \((p,q)\)-суммирующих операторов, положительных \((p,q)\)-суммирующих операторов и положительных \((p,q)\)-ядерных операторов Коэна. Наше исследование позволяет получить новые свойства, включая характеристику положительных \((p,q)\)-суммирующих операторов как тех, которые отображают положительные безусловно \(p\)-суммируемые последовательности в \(q\)-суммируемые последовательности, а также идентификацию положительного класса сильно \((p,q)\)-суммирующих операторов с классом \((p,q)\)-мажоризирующих операторов. Центральным достижением этой работы является унифицированная характеристика этих классов операторов посредством непрерывности тензорного произведения --- метода, хорошо зарекомендовавшего себя для линейных операторных идеалов, который мы теперь распространяем на контекст банаховых решеток. Мы характеризуем каждый класс непрерывностью ассоциированного тензорного оператора \(I \otimes T : \ell_p \otimes_\alpha X \to \ell_q \otimes_\beta Y\) для соответствующих тензорных норм \(\alpha\) и \(\beta\). Этот подход углубляет связи между суммируемостью, структурой порядка банаховых решеток и тензорными нормами.

решеточные пространства последовательностей положительные \((p;q)\)-суммирующие операторы положительные сильно \((p;q)\)-суммирующие операторы

lattice sequence spaces positive \((p;q)\)-summing operators positive strongly \((p;q)\)-summing operators

Blasco, O. A Class of Operators from a Banach Lattice into a Banach Space, Collectanea Mathematica, 1986, vol. 37, Fasciculo. 1, pp. 13-22.

Zhukova, O. I. On Modifications of the Classes of \(p\)-Nuclear, \(p\)-Summing and \(p\)-Integral Operators, Siberian Mathematical Journal, 1998, vol. 30, no. 5, pp. 894-907.

Achour, D. and Belacel, A. Domination and Factorization Theorems for Positive Strongly \(p\)-Summing Operators, Positivity, 2014, vol. 18, no. 4, pp. 785-804. DOI: 10.1007/s11117-014-0276-6.

Labuschagne, C. C. A. Riesz Reasonable Cross Norms on Tensor Products of Banach Lattices, Quaestiones Mathematicae, 2004, vol. 27, pp. 243-266. DIO: 10.2989/16073600409486098.

Bu, Q. and Buskes, G. The Radon–Nikodym Property for Tensor Products of Banach Lattices, Positivity, 2006, vol. 10, no. 2, pp. 365-390. DOI: 10.1007/s11117-005-0025-y.

Cohen, J. S. Absolutely \(p\)-Summing, \(p\)-Nuclear Operators and Their Conjugates, Mathematische Annalen, 1973, vol. 201, pp. 177-200. DOI: 10.1007/BF01427941.

Defant, A. and Floret, K. Tensor Norms and Operator Ideals, North-Holland Mathematics Studies, vol. 176, Amsterdam, North-Holland, 1993.

Pietsch, A. Operator Ideals, Mathematische Monographien, vol. 16, VEB, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978.

Achour, D., Alouani, A., Rueda, P. and Sanchez Perez, E. A. Tensor Characterizations of Summing Polynomials, Mediterranean Journal of Mathematics, 2018, vol. 15, article no. 127. DOI: 10.1007/s00009-018-1175-z.

Chen, D., Belacel A. and Chavez-dominguez, J. A. Positive \(p\)-Sum\-ming Operators and Disjoint \(p\)-Summing Operators, Positivity, 2021, vol. 25, pp. 1045-1077. DOI: 10.1007/s11117-020-00798-y.

Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. Classical Banach Spaces I and II. Sequence Spaces and Function Spaces, Berlin, Springer, 1996. DOI: 10.1007/978-3-662-53294-2.

Schaefer, H. H. Banach Lattices and Positive Operators, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1974.

Jarchow, H. Locally Convex Spaces, Stuttgart, B. G. Teubner, 1981.

Apiola, H. Duality Between Spaces of \(p\)-Summable Sequences, \((p,q)\)-Summing Operators and Characterizations of Nuclearity, Mathematische Annalen, 1976, vol. 219, pp. 53-64. DOI: 10.1007/BF01360858.

Donghai, J. Craddock, M. and Bu, Q. Reflexivity and the Grothendieck Property for Positive Tensor Products of Banach Lattices-I, Positivity, 2010, vol. 14, pp. 59-68. DOI: 10.1007/s11117-009-0004-9.

Kwapien, S. On Operators Factorizable Through \(L_{p}\) Space, Bulletin de la Societe mathematique de France. Memoire, 1972, no. 31-32, pp. 215-225.

Schoeman, I. M. A Theory of Multiplier Functions and Sequences and its Applications to Banach Spaces, North-Holland Mathematics Studies, Diss. North-West University, 2005.

Wittstock, G. Eine Bemerkung uber Tensorprodukte von Banachverbanden, Archiv der Mathematik, 1974, vol. 25, pp. 627-634. DOI: 10.1007/BF01238739.

Wittstock, G. Ordered Normed Tensor Products, Foundations of Quantum Mechanics and Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Physics, vol. 29, Springer, Berlin, Heidelberg, 1974. DOI: 10.1007/3-540-06725-6_10.

Meyer-Nieberg, P. Banach Lattices, Berlin, Springer-Verlag, 1991. DOI: 10.1007/978-3-642-76724-1.

Fremlin, D. H. Tensor Products of Archimedean Vector Lattices, American Journal of Mathematics, 1972, vol. 94, no. 3, pp. 778-798. DOI: 10.2307/2373758.

Fremlin, D. H. Tensor Products of Banach Lattices, Mathematische Annalen, 1974, vol. 211, pp. 87-106. DOI: 10.1007/BF01344164.

Ryan, R. A. Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, London, Springer, 2002. DOI: 10.1007/978-1-4471-3903-4.

Jan, H. Fourie and Rontgen, I. M. Banach Space Sequences and Projective Tensor Products, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003, vol. 277, pp. 629-644.

Bu, Q. and Diestel, J. Observations about the Projective TensorProduct of Banach Spaces, I - \(\ell_{p}\widehat{\otimes} X\), \(1 < p < \infty\), Quaestiones Mathematicae, 2001, vol. 24, no. 4, pp. 519-533. DOI: 10.1080/16073606.2001.9639238.