1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Boundary Value Problems for Inhomogeneous Polyanalytic Equations in a Triangle

Краевые задачи для неоднородных полианалитических уравнений в треугольнике

10.46698/f7969-2225-7035-j

17979

12 2025

27 4 46 60

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18019&SECTION_ID=647

Караджа

Б.

Karaca

bahriye.karaca@bakircay.edu.tr

Измирский университет Бакырчай, факультет инженерии и архитектуры, Турция, 35665, Измир, Менемен, район Гази Мустафа Кемаль, ул. Кайнаклар, 115/1 Izmir Bakircay University, Faculty of Engineering and Architecture, Department of Fundamental Sciences, Gazi Mustafa Kemal District, 115/1 Kaynaklar Road, Menemen 35665, Izmir, Turkey

In this paper, we investigate Dirichlet and Schwarz type boundary value problems for both the inhomogeneous Cauchy-Riemann equation and higher-order polyanalytic equations in a nonstandard domain, specifically a triangular region formed by the intersection of three circular disks in the complex plane. Such domains introduce additional geometric complexity, which requires careful analytical treatment. By constructing appropriate kernel functions tailored to the geometry of the domain, we develop integral operator techniques that allow us to derive explicit solution formulas for the given boundary conditions. In addition, we establish necessary and sufficient conditions for the solvability of these problems, depending on the compatibility of boundary data and the properties of the inhomogeneous terms. Our approach generalizes classical methods used for standard domains, extending their applicability to more intricate geometric settings. The results presented in this work contribute to the broader theory of boundary value problems for complex partial differential equations and offer new tools for addressing similar problems in applied mathematical physics and complex analysis

В данной работе исследуются краевые задачи типа Дирихле и Шварца как для неоднородного уравнения Коши - Римана, так и для полианалитических уравнений высокого порядка в нестандартной области, а именно, в треугольной области, образованной пересечением трех круговых дисков в комплексной плоскости. Такие области вносят дополнительную геометрическую сложность, требующую тщательного аналитического анализа. Построив соответствующие функции-ядра, адаптированные к геометрии области, мы развиваем методы интегральных операторов, позволяющие выводить явные формулы решения для заданных граничных условий. Кроме того, мы устанавливаем необходимые и достаточные условия разрешимости этих задач в зависимости от совместимости граничных данных и свойств неоднородных членов. Наш подход обобщает классические методы, используемые для стандартных областей, расширяя их применимость на более сложные геометрические ситуации. Результаты, представленные в данной работе, вносят вклад в более широкую теорию краевых задач для сложных уравнений в частных производных и предлагают новые инструменты для решения подобных задач в прикладной математической физике и комплексном анализе.

полианалитические уравнения задача Шварца задача Дирихле оператор типа Помпейю треугольная область

polyanalytic equations Schwarz problem Dirichlet problem Pompeiu-type operator triangular domain

Begehr, H. Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations. An introductoryText, Singapore, World Scientific, 1994.

Begehr, H. and Hile, G. N. A Hierarchy of Integral Operators, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1997, vol. 27, no. 3, pp. 669-706. DOI: 10.1216/rmjm/1181071888.

Celebi, A. O. and Aksoy U. Schwarz Problem for Higher-Order Complex Elliptic Partial Differential Equations, Integral Transforms and Special Functions, 2008, vol. 19, no. 6, pp. 413-428. DOI: 10.1080/10652460801933645.

Chaudhary, A. Neumann and Mixed Boundary Value Problems on the Upper Half Plane, Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and its Application, 2022, vol. 6, no. 1, pp. 135-142. DOI: 10.31197/atnaa.950920.

Karaca, B. Schwarz Problem for Model Partial Differential Equations with One Complex Variable, Sakarya University Journal of Science, 2024, vol. 28, no. 2, pp. 410-417. DOI: 10.16984/saufenbilder.1390617.

Yongzhi, X. Riemann Problem and Inverse Riemann Problem of (\( \lambda \),1) bi-Analytic Functions, Complex Variables and Elliptic Equations, 2007, vol. 52, no. 10-11, pp. 853-864. DOI: 10.1080/17476930701483809.

Wang, Y. and Wang, Y. Schwarz-Type Problem Of Nonhomogeneous Cauchy-Riemann Equation on a Triangle, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011, vol. 377, no. 2, pp. 557-570. DOI: 10.1016/j.jmaa.2010.11.023.

Hao, Y. and Hua, L. Schwarz Boundary Value Problem on Reuleaux Triangle, Complex Variables and Elliptic Equations, 2021, vol. 67, no. 10, pp. 2444-2457. DOI: 10.1080/17476933.2021.1931150.

Wang, Y. and Wang, Y. Two Boundary-Value Problems for the Cauchy-Riemann Equation in a Sector, Complex Analysis and Operator Theory, 2012, vol. 6, pp. 1121-1138. DOI: 10.1007/s11785-010-0107-0.

Wang, Y. and Zhao, X. Schwarz Boundary Value Problem for the Cauchy-Riemann Equation in a Rectangle, Boundary Value Problems, 2016, vol. 2016, Article no. 7. DOI: 10.1186/s13661-016-0520-z.

Gencturk, I. Robin Boundary Value Problem Depending on Parameters in a Ring Domain, Fundamental Journal of Mathematics and Applications, 2020, vol. 3, no. 2, pp. 161-167. DOI: 10.33401/fujma.795538.

Akel, M., Hidan, M. and Abdalla, M. Complex Boundary Value Problems for the Cauchy-Riemann Operator on a Triangle, Fractals, 2022, vol. 30, no. 10, Article no. 2240252. DOI: 10.1142/S0218348X22402526.

Akel, M. S. and Alabbad, F. A Riemann-Hilbert Boundary Value Problem in a Bounded Sector, Complex Variables and Elliptic Equations, 2014, vol. 60, no. 4, pp. 493-509. DOI: 10.1080/17476933.2014.944866.

Darya, A. and Taghizadeh, N. Schwarz and Dirichlet Problems for \(\bar{\partial}\)-Equation in a Triangular Domain, Russian Mathematics, 2024, vol. 68, pp. 9-17. DOI: 10.3103/S1066369X24700853.

Soldatov, A. P. On Boundary Properties of Conformal Mappings, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2024, vol. 64, no. 9, pp. 2011-2025. DOI: 10.1134/S0965542524701070.

Koshanov, B. D. and Soldatov, A. P. On the Solvability of the Generalized Neumann Problem for a Higher-Order Elliptic Equation in an Infinite Domain, Contemporary Mathematics Fundamental Directions, 2021, vol. 67, no. 3, pp. 564-575. DOI: 10.22363/2413-3639-2021-67-3-564-575.

Soldatov, A. P. On the First and Second Boundary Value Problems for Elliptic Systems on the Plane, Differential Equations, 2003, vol. 39, no. 5, pp. 712-725. DOI: 10.1023/A:1026102322259.

Kozhanov, A. I. and Kenzhebay, Kh. Boundary Value Problems with an Integro-Differential Non-Local Condition for Composite Type Differential Equations of the Fourth Order, Chelyabinskiy Fiziko-Matematicheskiy Zhurnal, 2023, vol. 8, no. 4, pp. 516-527. DOI: 10.47475/2500-0101-2023-8-4-516-527.