1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Теоремы типа Кейси и преобразования Лагерра Casey Type Theorem and Laguerre Transformations 10.46698/m2064-2286-7424-l 17988 12 2025 27 4 72 85 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17988&SECTION_ID=646 Костин А. В. Kostin A. V. kostin_andrei@mail.ru Набережночелнинский институт Казанского (Приволжского) федерального университета, РОССИЯ, 423812, Набережные Челны, пр. Мира, 68/19 (1/18) Kazan Federal University - Naberezhnye Chelny Institute, 68/19 (1/18) Mir Ave., Naberezhnye Chelny 423812, Russia В статье исследуются связи между теоремами Кейси и их обобщениями на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Наряду с теоремами типа Кейси об окружностях и "касательных расстояниях" между ними рассматриваются преобразования Лагерра, сохраняющие такие расстояния. С использованием неевклидовой геометрии описываются некоторые связи между этими преобразованиями. В теореме Кейси, являющейся одним из обобщений теоремы Птолемея о вписанном четырехугольнике, рассматриваются четыре окружности, касающиеся одной окружности на евклидовой плоскости. Вместо длин сторон и диагоналей берутся длины общих касательных соответствующих пар окружностей. Эта теорема легко обобщается на большее количество окружностей. Кроме того, у нее существуют различные аналоги в пространствах постоянной кривизны. На псевдоевклидовой плоскости также можно рассматривать аналоги теоремы Кейси и ее обобщений. Теоремы такого типа на псевдоевклидовой плоскости являются непосредственным следствием соответствующих евклидовых теорем. В работе строится соответствие между конфигурациями окружностей на евклидовой плоскости и конфигурациями окружностей мнимого радиуса на псевдоевклидовой плоскости. При этом соотношению из евклидовой геометрии соответствует то же самое соотношение в псевдоевклидовой геометрии. Преобразования Лагерра на евклидовой плоскости воздействуют на ориентированные прямые. При этом семейство прямых, огибающее окружность, под воздействием преобразований Лагерра переходит в аналогичное семейство. Если прямая принадлежит двум таким семействам, то при преобразованиях Лагерра сохраняется длина отрезка прямой между точками касания с окружностями. С использованием изотропной проекции преобразования Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях можно рассматривать как преобразования, индуцированные движениями трехмерного псевдоевклидова пространства. Для описания свойств однопараметрических подгрупп группы Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях используются геометрии Лобачевского и де Ситтера. The article explores the connections between Casey's theorems and their generalizations on the Euclidean and pseudo-Euclidean planes. Along with Casey type theorems about circles and "tangent distances'' between them, Laguerre transformations that preserve such distances are considered. Using non-Euclidean geometry, some connections between such transformations are described. In Casey's theorem, which is one of the generalizations of Ptolemy's theorem on an inscribed quadrilateral, four circles are considered that are tangent to one circle on the Euclidean plane. Instead of the lengths of the sides and diagonals, Casey's theorem takes the lengths of the common tangents of the corresponding pairs of circles. This theorem can be easily generalized to a larger number of circles. In addition, this theorem has various analogs and generalizations in spaces of constant curvature. On the pseudo-Euclidean plane, one can also consider analogs of Casey's theorem and its generalizations. Theorems of this type on the pseudo-Euclidean plane are a direct consequence of the corresponding Euclidean theorems. In this paper, a correspondence is constructed between configurations of circles on the Euclidean plane and configurations of circles of imaginary radius on the pseudo-Euclidean plane. In this case, the relationship from Euclidean geometry corresponds to the same relationship in pseudo-Euclidean geometry. Laguerre transformations on the Euclidean plane affect oriented lines. In this case, the family of straight lines enveloping the circle, under the influence of Laguerre transformations, passes into a similar family. If a straight line belongs to two such families, then under Laguerre transformations the length of the straight line segment between the points of contact with the circles is preserved. Using isotropic projection, Laguerre transformations on Euclidean and pseudo-Euclidean planes can be considered as transformations induced by the movements of three-dimensional pseudo-Euclidean space. To describe the properties of one-parameter subgroups of the Laguerre group on the Euclidean and pseudo-Euclidean planes, the Lobachevsky and de Sitter geometries are used. теорема Птолемея теорема Кейси теорема Фурмана преобразования Лагерра пространство постоянной кривизны Ptolemy's theorem Casey's theorem Fuhrmann's theorem Laguerre transformations space of constant curvature 1 Kubota T. On the extended Ptolemy's theorem in hyperbolic geometry // Science Reports of the Tohoku University. Ser. 1: Physics, Chemistry, Astronomy. 1912. Vol. 2. P. 131-156. Kubota, T. On the Extended Ptolemy's Theorem in Hyperbolic Geometry, Science Reports of the Tohoku University. Ser. $1$: Physics, Chemistry, Astronomy, 1912, vol. 2, pp. 131-156. 2 Широков П. А. Этюды по геометрии Лобачевского // Изв. Физ-мат. общества при КГУ. Сер. 2. 1924. Т. 24, № 1. С. 26-32. Shirokov, P. A. Etudes on the Lobachevskii Geometry, Izvestia Fiziko-Matematicheskogo Obschestva pri KGU, Ser. 2, 1924, vol. 24, no. 1, pp. 26-32 (in Russian). 3 Ungar A. A. Ptolemy's theorem in the relativistic model of analitic hyperbolic geometry // Symmetry. 2023. Vol. 15, № 3. Article no. 649. DOI: 10.3390/sym15030649. Ungar, A. A. Ptolemy's Theorem in the Relativistic Model of Analitic Hyperbolic Geometry, Symmetry, 2023, vol. 15, no. 3, article no. 649. DOI: 10.3390/sym15030649. 4 Haantjes J. A characteristic local property of Geodesies in certain metric spaces // Proc. Akad. Wetensch. Amsterdam, 1947. Vol. 50. P. 496-508. Haantjes, J. A Characteristic Local Property of Geodesies in Certain Metric Spaces, Proc. Akad. Wetensch., Amsterdam, 1947, vol. 50, pp. 496-508. 5 Gomez M., Memoli F. The four point condition: An elementary tropicalization of Ptolemy’s inequality // Amer. Math. Monthly. 2024. Vol. 131, № 3. P. 187-203. DOI: 10.1080/00029890.2023.2285695. G$\acute{o$mez, M. and M$\acute{e$moli, F. The Four Point Condition: An Elementary Tropicalization of Ptolemy’s Inequality, The American Mathematical Monthly, 2024, vol. 131, no. 3, pp. 187-203. DOI: 10.1080/00029890.2023.2285695. 6 Casey J. A Seqyel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry, with Numerous Examples / Classic Reprint. London: Forgotten Books, 2012. Casey, J. A Seqyel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry, with Numerous Examples, Classic Reprint, Forgotten Books, London, 2012. 7 Maehara H., Martini H. Casey’s theorem // Circles, Spheres and Spherical Geometry. Cham: Birkhauser, 2024. P. 261-277. (Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher). DOI: 10.1007/978-3-031-62776-7_13. Maehara, H. and Martini, H. Casey’s Theorem, Circles, Spheres and Spherical Geometry, Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher, Cham, Birkhauser, 2024, pp. 261-277. DOI: 10.1007/978-3-031-62776-7\_13. 8 Abrosimov N. V., Aseev V. V. Generalizations of Casey’s theorem for higher dimensions // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39. P. 1-12. DOI: 10.1134/S199508021801002X. Abrosimov, N. V. and Aseev, V. V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2018, vol. 39, pp. 1-12. DOI: 10.1134/S199508021801002X. 9 Abrosimov N. V., Mikaiylova L. A. Casey's theorem in hyperbolic geometry // Сиб. электрон. мат. изв. 2015. Т. 12. С. 354-360. DOI: 10.17377/semi.2015.12.029. Abrosimov, N. V. and Mikaiylova, L. A. Casey's Theorem in Hyperbolic Geometry, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2015, vol. 12, pp. 354-360. DOI: 10.17377/semi.2015.12.029. 10 Костин А. В. Об обобщениях теоремы Птолемея на плоскости Лобачевского // Сиб. электрон. мат. изв. 2022. Т. 19, № 2. С. 404-414. DOI: 10.33048/semi.2022.19.035. Kostin, A. V. On Generalizations of Ptolemy's Theorem on the Lobachevsky Plane, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2022, vol. 19, no. 2, pp. 404-414 (in Russian). DOI: 10.33048/semi.2022.19.035. 11 Костин А. В. Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 4. С. 58-67. DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n. Kostin, A. V. On Analogues of the Fuhrmann's Theorem on the Lobachevsky Plane, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 4, pp. 58–67 (in Russian). DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n. 12 Костин А. В., Костина Н. Н. Интерпретации теоремы Кези и ее гиперболического аналога // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 242-251. DOI: 10.17377/semi.2016.13.017. Kostin, A. V. and Kostina, N. N. An Interpretation of Casey's Theorem and Its Hyperbolic Analogue, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2016, vol. 13, pp. 242-251. DOI: 10.17377/semi.2016.13.017. 13 Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Ленанд, 2021, 552 с. Rosenfeld, B. A. Neevklidovy prostranstva [Non-Euclidean Spaces], Moscow, Lenand, 2021, 552 p. (in Russian). 14 Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Ленанд, 2021, 672 с. Rosenfeld, B. A. Mnogomernyye prostranstva [Multidimensional Spaces], Moscow, Lenand, 2021, 672 p. (in Russian). 15 Maehara H., Martini H. Bipartite sets of spheres and Casey-type theorems // Results Math. 2018. Vol. 74. Art. 47. DOI: 10.1007/s00025-019-0973-3. Maehara, H. and Martini, H. Bipartite Sets of Spheres and Casey-Type Theorems, Results in Mathematics, 2018, vol. 74, art. 47. DOI: 10.1007/s00025-019-0973-3. 16 Bobenko A. I., Lutz C. O. R., Pottmann H., Techter J. Non-Euclidean Laguerre Geometry and Incircular Nets. Cham: Springer, 2021. DOI: 10.1007/978-3-030-81847-0_1. Bobenko, A. I., Lutz, C. O. R., Pottmann, H. and Techter, J. Non-Euclidean Laguerre Geometry and Incircular Nets, Cham, Springer, 2021. DOI: 10.1007/978-3-030-81847-0_1. 17 Широков А. П. О группе Лагерра и ее аналогах в релятивной линейчатой геометрии плоскости // Движения в обобщенных пространствах. Рязань: Рязанский гос. пед. ин-т, 1985. С. 25-30. Shirokov, A. P. On the Laguerre Group and Its Analogues in the Relative Ruled Geometry of the Plane, Movements in generalized spaces, Ryazan, Ryazan State Pedagogical Institute, 1985, pp. 25-30 (in Russian). 18 Шустова К. П. Преобразования Лагерра в псевдоевклидовом пространстве и геометрия Лобачевского: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 1994. Shustova, K. P. Laguerre Transformations in Pseudo-Euclidean Spaces and Lobachevsky Geometry, Dissertaciia kand. fiz.-mat. nauk, Kazan, 1994 (in Russian). 19 Костин А. В. Асимптотические на псевдосферах и угол параллельности // Изв. вузов. Матем. 2021. Т. 65, № 6. С. 25-34. DOI: 10.26907/0021-3446-2021-6-25-34. Kostin, A. V. Asymptotic Lines on Pseudospheres and the Angle of Parallelisms, Russian Mathematics, 2021, vol. 65, no. 6, pp. 21-28. DOI: 10.3103/S1066369X21060037. 20 Костин А. В. Задача о тени и поверхности постоянной кривизны // Сиб. электрон. мат. изв. 2023. Т. 20, № 1. С. 150-164. DOI: 10.33048/semi.2023.20.014. Kostin, A. V. Problem of Shadow and Surface of Constant Curvature, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2023, vol. 20, no. 1, pp. 150-164 (in Russian). DOI: 10.33048/semi.2023.20.014.