1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Локальная управляемость, траектория геометрического локального инфимума и условия второго порядка в оптимальном управлении Local Controlability, Trajectory Geometric Local Infimuma, and Second-Order Conditions in Optimal Control 10.46698/a7281-6269-9782-p 18572 03 2026 28 1 16 27 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18572&SECTION_ID=656 Аваков Е. Р. Avakov E. R. eramag@mail.ru Магарил-Ильяев Г. Г. Magaril-Il'yaev G. G. georgii.magaril@math.msu.ru Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, РОССИЯ, Москва, 117997, ул. Профсоюзная, 65 V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russia Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, РОССИЯ, Москва, 119991, Ленинские горы, 1 Lomonosov Moscow State University, 1 Leninskie Gory, Moscow 119991, Russia В теории оптимального управления вопросы, связанные с необходимыми условиями оптимальности и управляемости системы, являются одними из основных. В данной работе для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются понятие ее локальной управляемости относительно произвольной непрерывной функции и понятие траектории геометрического локального инфимума. Отметим, что они двойственны друг к другу в том смысле, что либо управляемая система локально управляема относительно данной функции, либо эта функция является траекторией геометрического локального инфимума. Понятие траектории геометрического локального инфимума обобщает понятие траектории локального инфимума (ранее введенного авторами), которое, в свою очередь, обобщает классическое понятие оптимальной траектории. Траектория локального инфимума - это функция, на которой целевой функционал достигает своего минимума. При этом она, вообще говоря, не является допустимой траекторией, но есть равномерный предел таковых. Оптимальная траектория может не существовать, но существование траектории локального инфимума, очевидно, вполне достаточно для приложений. Ранее указанная двойственность понятий локальной управляемости относительно произвольной непрерывной функции и траектории геометрического локального инфимума исследовалась авторами в случае, когда необходимые условия траектории локального инфимума были первого порядка. В данной работе речь идет о необходимых условиях второго порядка. Следует сказать, что необходимые условия первого и второго порядков траектории локального инфимума усиливают соответствующие все классические условия (в частности, принцип максимума Понтрягина). Наша основная цель - показать, что введение более общих понятий (локальная управляемость относительно произвольной функции, траектория геометрического локального инфимума) позволяет единообразно смотреть на вопросы управляемости и оптимальности в оптимальном управлении. Важную роль играют примеры в конце статьи. In optimal control theory, questions related to necessary optimality conditions and the controllability of a control system are among the fundamental ones. In this paper, for a control system of ordinary differential equations, the concept of its local controllability with respect to an arbitrary continuous function and the concept of a trajectory of a geometric local infimum are defined. These concepts are dual to each other in the sense that either the control system is locally controllable with respect to a given function or this function is a trajectory of a geometric local infimum. The concept of a trajectory of a geometric local infimum generalizes the concept of a trajectory of a local infimum (previously introduced by the authors), and generalizes the classical concept of an optimal trajectory. A trajectory of a local infimum is a function such that the objective functional attains its minimum, but, generally speaking, it is not a feasible trajectory and it is a uniform limit of such trajectories. An optimal trajectory may not exist, but the existence of a local infimum trajectory is clearly sufficient for applications. The previously mentioned duality between the concepts of local controllability with respect to an arbitrary continuous function and the trajectory of a geometric local infimum was investigated by the authors in the case, where the necessary conditions for the trajectory of a local infimum were first-order. In this paper we focus on second-order necessary conditions. Note that first-order and second-order necessary conditions for the trajectory of a local infimum are improved the corresponding classical conditions (in partuicular, the Pontryagin maximum principle). Our goal is to show that the introduction of more general concepts (local controllability with respect to an arbitrary function, the trajectory of a geometric local infimum) allows to a unified approach of controllability and optimality in optimal control. Our examples also play an important role. траектория геометрического локального инфимума локальная управляемость оптимальное управление условия второго порядка trajectory of geometric local infimum local controllability optimal control second-order conditions. 1 Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с. Lee, E. B. and Markus, L. Foundations of Optimal Control Theory, New York, London, Sydney, John Wiley & Sons, 1967. 2 Аваков Е. Р., Магарил-Ильяев Г. Г. Релаксация и управляемость в задачах оптимального управления // Матем. сб. 2017. Т. 208, № 5. С. 3-37. DOI: 10.4213/sm8721. Avakov, E. R. and Magaril-Il'yaev, G. G. Relaxation and Controllability in Optimal Control Problems, Sbornik: Mathematics, 2017, vol. 208, no. 5, pp. 585-619. DOI: 10.1070/SM8721. 3 Аграчев А. А., Сарычев Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 392 с. Agrachev, A. A. and Sarychev, Yu. L. Geometric Control Theory [Geometricheskaya teoriya upravleniya], Moscow, Fizmatlit, 2005, 392 p. 4 Avakov E. R., Magaril-Il'yaev G. G. Local controllability and trajectories of geometric local infimum in optimal control priblems // J. Math. Sci. 2023. Vol. 269, № 2. P. 129-142. DOI: 10.1007/s10958-023-06265-9. Avakov, E. R. and Magaril-Il'yaev, G. G. Local Controllability and Trajectories of Geometric Local Infimum in Optimal Control Priblems, Journal of Mathematical Sciences, 2023, vol. 269, no. 2, pp. 129-142. DOI: 10.1007/s10958-023-06265-9. 5 Аваков Е. Р., Магарил-Ильяев Г. Г. Управляемость и необходимые условия второго порядка для траектории локального инфимума в оптимальном управлении // Тр. МИАН. Оптимальное управление и динамические системы. Сборник статей. К 95-летию академика Реваза Валериановича Гамкрелидзе. 2023. Т. 321. С. 7-30. DOI: 10.4213/tm4312. Avakov, E. R. and Magaril-Il'yaev, G. G. Controllability and Second-Order Necessary Conditions for Local Infimum Trajectories in Optimal Control, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Optimal Control and Dynamical Systems. Collected papers. On the occasion of the 95th birthday of Academician Revaz Valerianovich Gamkrelidze, 2023, vol. 321, pp. 1-23. DOI: 10.1134/S0081543823020013. 6 Аваков Е. Р., Магарил-Ильяев Г. Г. Локальный инфимум и семейство принципов максимума в оптимальном управлении // Матем. сб. 2020. Т. 211, № 6. С. 3-39. DOI: 10.4213/sm9234. Avakov, E. R. and Magaril-Il'yaev, G. G. Local Infimum and a Family of Maximum Principles in Optimal Control, Sbornik: Mathematics, 2020, vol. 211, no. 6, pp. 750-785. DOI: 10.1070/SM9234. 7 Avakov E., Magaril-Il'yaev G. G. Necessary second-order conditions for a local infimum in optimal control // SIAM J. Control Optim. 2022. Vol. 60, № 2. P. 1018-1038. DOI: 10.1137/21M1389973. Avakov, E. and Magaril-Il'yaev, G. G Necessary Second-Order Conditions for a Local Infimum in Optimal Control, SIAM Journal of Control and Optimization, 2022, vol. 60, no. 2, pp. 1018-1038. DOI: 10.1137/21M1389973. 8 Левитин E. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33, № 6(204). С. 85-148. Levitin, E. S., Milyutin, A. A. and Osmolovskii, N. P. Conditions of High Order for a Local Minimum in Problems with Constraints, Russian Mathematical Surveys, 1978, vol. 33, no. 6, pp. 97-168. DOI: 10.1070/RM1978v033n06ABEH003885. 9 Аваков Е. Р., Магарил-Ильяев Г. Г. Управляемость и необходимые условия оптимальностивторого порядка // Матем. сб. 2019. Т. 210, № 1. С. 3-26. DOI: 10.4213/sm9013. Avakov, E. R. and Magaril-Il'yaev, G. G. Controllability and Second-Order Necessary Conditions for Optimality, Sbornik: Mathematics, 2019, vol. 210, no. 1, pp. 1-23. DOI: 10.1070/SM9013.