1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Particular Examples of Planar Integral Point Sets and Their Classification Некоторые примеры плоских целоудаленных множеств и их классификация 10.46698/q7071-3025-8385-h 18576 03 2026 28 1 28 36 https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18606&SECTION_ID=658 Авдеев Н. Н. Avdeev N. N. nickkolok@mail.ru, avdeev@math.vsu.ru Зволинский А. Е. Zvolinskiy A. E. aezv.global@gmail.com Момот Е. А. Momot E. A. winter.b258@yandex.ru Воронежский государственный университет, Россия, 394018, Воронеж, Университетская пл., 1 Voronezh State University, 1 Universitetskaya Sq., Voronezh 394018, Russia A planar integral point set (PIPS) is a finite set of non-collinear points in the Euclidean plane such that the Euclidean distance between any pair of points is an integer. These sets are characterized by their cardinality (the finite number of points), diameter (the maximum pairwise distance), and characteristic (the smallest positive integer \(q\) such that all triangular areas are commensurable with \(\sqrt{q}\)). The characteristic remains invariant under translations, dilations, reflections, and even the addition or removal of points. Existing classifications include sets in semi-general position (no three points collinear) and general position (no three collinear and no four concyclic). Circular sets and facher sets (all but one point on a line) are prominent examples, but finding sets of general position is difficult problem. For instance, the~largest known set has seven points, and no eight-point example is currently known. This work introduces new examples to advance the classification, including rails sets (points on two parallel lines) and sets with multiple symmetries. We also present sets with many shared points that cannot be merged. These constructions highlight the potential of sequential extensions and limitations of merging sets, offering insights into the structure and properties of planar integral point sets. Плоское целоудаленное множество есть конечное множество точек на евклидовой плоскости, не содержащееся ни на какой прямой, такое, что евклидово расстояние между любой парой точек является целым числом. Эти множества характеризуются своей мощностью (конечным числом точек), диаметром (максимальным попарным расстоянием) и характеристикой (наименьшим положительным целым числом \(q\) таким, что площади всех треугольников, образованных точками множества, соизмеримы с \(\sqrt{q}\)). Характеристика инвариантна относительно сдвига, растяжения, отражения, а также добавления или удаления точек. Существующие классификации включают множества в полуобщем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой) и в общем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности). Классическими примерами являются круговые множества и веерные множества (все точки, кроме одной, лежат на одной прямой). Однако нахождение множеств общего положения представляет значительные трудности. Например, наибольшее известное множество имеет семь точек, и пока не найдено множество из восьми точек общего положения. В данной работе представлены новые примеры для развития классификации, включая рельсовые множества (точки на двух параллельных прямых), множества с несколькими симметриями и стреловидные конфигурации. Мы также рассматриваем множества с большим количеством общих точек, которые нельзя объединить. Эти конструкции подчеркивают потенциал последовательных растяжений и ограничения на объединение множеств, демонстрируя новые особенности структуры и свойств плоских целоудаленных множеств. целоудаленное множество классификация плоских целоудаленных множеств дискретная геометрия комбинаторная геометрия integral point set classification of planar integral point sets discrete geometry combinatorial geometry. This work was carried out at Voronezh State University and supported by the Russian Science Foundation, grant no. 19-11-00197. 1 Anning, N. H. and Erdos, P. Integral Distances, Bulletin ofthe American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 8, pp. 598-600. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9. Anning, N. H. and Erdos, P. Integral Distances, Bulletin of the American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 8, pp. 598-600. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9. 2 Erdos, P. Integral Distances, Bulletin of the American MathematicalSociety, 1945, vol. 51, no. 12, p. 996. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08490-0. Erdos, P. Integral Distances, Bulletin of the American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 12, p. 996. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08490-0. 3 Kemnitz, A. Punktmengen mit ganzzahligen Abstanden [Point Sets with Integral Distances],Habilitationsschrift, Braunschweig, 1988 (in German). Kemnitz, A. Punktmengen mit ganzzahligen Abstanden [Point Sets with Integral Distances], Habilitationsschrift, Braunschweig, 1988 (in German). 4 Kurz, S. On the Characteristic of Integral Point Sets in \(\mathbb {E^m}\), Australasian Journal of Combinatorics, 2006, vol. 36, pp. 241-248. DOI: 10.48550/arXiv.math/0511704. Kurz, S. On the Characteristic of Integral Point Sets in \(\mathbb {E^m}\), Australasian Journal of Combinatorics, 2006, vol. 36, pp. 241-248. DOI: 10.48550/arXiv.math/0511704. 5 Kurz, S. and Wassermann, A. On the Minimum Diameter of Plane Integral Point Sets, Ars Combinatoria,2011, vol. 101, pp. 265–287. DOI: 10.48550/arXiv.0804.1307. Kurz, S. and Wassermann, A. On the Minimum Diameter of Plane Integral Point Sets, Ars Combinatoria, 2011, vol. 101, pp. 265–287. DOI: 10.48550/arXiv.0804.1307. 6 Solymosi, J. Note on Integral Distances, Discrete & Computational Geometry, 2003, vol. 30, no. 2, pp. 337-342, DOI: 10.1007/s00454-003-0014-7. 7 Avdeev, N. and Lushina, E. On the Characteristic and Diameterof Planar Integral Point Sets, Australasian Journal of Combinatorics, 2025, vol. 93, no. 3, pp. 461-477. DOI:10.48550/arXiv.2407.08121. Avdeev, N. and Lushina, E. On the Characteristic and Diameter of Planar Integral Point Sets, Australasian Journal of Combinatorics, 2025, vol. 93, no. 3, pp. 461-477. DOI: 10.48550/arXiv.2407.08121. 8 Kreisel, T. and Kurz, S. There Are Integral Heptagons, no Three Points on a Line, no Four on a Circle, Discrete & Computational Geometry, 2008, vol. 39, no. 4, pp. 786-790, DOI: 10.1007/s00454-007-9038-6. 9 Avdeev, N. N. On Integral Point Sets in Special Position,Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya:materialy mezhdunarodnoy molodezhnoy nauchnoy shkoly "Aktual'nye napravleniya matematicheskogo analiza i smezhnye voprosy", 2018, vol. 8, pp. 5-6 (in Russian). Avdeev, N. N. On Integral Point Sets in Special Position, Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya: materialy mezhdunarodnoy molodezhnoy nauchnoy shkoly "Aktual'nye napravleniya matematicheskogo analiza i smezhnye voprosy", 2018, vol. 8, pp. 5-6 (in Russian). 10 Avdeev, N. N. On the Search of Special Integral Point Sets, Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2018, pp. 492-498 (in Russian). Avdeev, N. N. On the Search of Special Integral Point Sets, Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2018, pp. 492-498 (in Russian). 11 Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. Integral Point Sets in the Plane and Euclidean Space, Mathematical Forum, vol. 12, Studies in Mathematics and Mathematical Education, Trends in Science: The South of Russia, Vladikavkaz, SMI VSC RAS, 2018, pp. 217-236. Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. Integral Point Sets in the Plane and Euclidean Space, Mathematical Forum, vol. 12, Studies in Mathematics and Mathematical Education, Trends in Science: The South of Russia, Vladikavkaz, SMI VSC RAS, 2018, pp. 217-236. 12 Avdeev, N. N., Zvolinsky, R. E. and Momot, E. A. On Particular Diameter Bounds for Integral Point Sets in HigherDimensions, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics,2025, vol. 1, pp. 62-77. DOI: 10.48550/arXiv.1909.10386. Avdeev, N. N., Zvolinsky, R. E. and Momot, E. A. On Particular Diameter Bounds for Integral Point Sets in Higher Dimensions, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2025, vol. 1, pp. 62-77. DOI: 10.48550/arXiv.1909.10386. 13 Kurz, S. et al. Constructing 7-Clusters, Serdica Journal of Computing, 2014, vol. 8,no. 1, pp. 47-70. DOI: 10.48550/arXiv.1312.2318. Kurz, S. et al. Constructing 7-Clusters, Serdica Journal of Computing, 2014, vol. 8, no. 1, pp. 47-70. DOI: 10.48550/arXiv.1312.2318. 14 Zvolinsky, R. E. Facher Integral Point Sets with Particular Distances of Arbitrary Cardinality,Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, Sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2021, pp. 668-674. Zvolinsky, R. E. Facher Integral Point Sets with Particular Distances of Arbitrary Cardinality, Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, Sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2021, pp. 668-674. 15 Antonov, A. R. and Kurz, S. Maximal Integral Point Sets over\(\mathbb {Z^2}\), International Journal of Computer Mathematics, 2010, vol. 87,no. 12, pp. 2653-2676. DOI: 10.1080/00207160902993636. Antonov, A. R. and Kurz, S. Maximal Integral Point Sets over \(\mathbb {Z^2}\), International Journal of Computer Mathematics, 2010, vol. 87, no. 12, pp. 2653-2676. DOI: 10.1080/00207160902993636. 16 Solymosi, J. and de Zeeuw, F. On a Question of Erdos and Ulam, Discrete & Computational Geometry, 2010, vol. 43, no. 2, pp. 393-401. DOI: 10.1007/s00454-009-9179-x. 17 Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. On the Sets of Points on the Plane with Integer-Valued Distances, Mathematical Notes, 2016, vol. 100, pp. 743-746. DOI: 10.1134/S0001434616110110. Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. On the Sets of Points on the Plane with Integer-Valued Distances, Mathematical Notes, 2016, vol. 100, pp.~743-746. DOI: 10.1134/S0001434616110110.