1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Лемма Фаркаша для полилинейных операторов Farkas Lemma for Multilinear Operators 10.46698/o9578-0948-6676-e 18584 03 2026 28 1 82 97 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18584&SECTION_ID=656 Кусраев А. Г. Kusraev A. G. kusraev@smath.ru Северо-Кавказский центр математических исследований ВНЦ РАН, Россия, 363110, с. Михайловское, ул. Вильямса, 1 North-Caucasus Center for Mathematical Research VSC RAS, 1 Williams St., Mikhailovskoye village 363110, Russia Лемма Фаркаша является классическим результатом, лежащим в основе двойственности линейного программирования и теории оптимизации. Известны многочисленные ее обобщения, в том числе и различные линейные и нелинейные операторные версии. Однако, лемма Фаркаша неверна для полилинейных операторов и даже для билинейных функционалов на конечномерном пространстве, если число фигурирующих в ее формулировке операторов больше двух. В настоящей заметке выделен класс орторегулярных полилинейных операторов из декартовой степени равномерно полной векторной решетки в пространство Канторовича, для которых лемма Фаркаша имеет место в полном объеме. Для этой цели используется линеаризация с помощью степени векторной решетки, которая позволяет заменить орторегулярный полилинейный оператор регулярным линейным оператором. Показано также, что аналогичная конструкция работает и в том случае, когда область определения операторов - векторное пространство с отношением дизъюнктности, согласованным с линейной структурой. Farkas's lemma is a classic result underlying the duality of linear programming, and it played a central role in the development of mathematical optimization. Numerous generalizations of this lemma are known, including various linear and nonlinear operator versions. However, Farkas's lemma is generally false for multilinear operators and even for bilinear forms in a finite-dimensional space. In this paper, we identify a class of orthoregular multilinear operators for which Farkas's lemma holds true. Consider vector lattices \(E\) and \(G\) with \(E\) uniformly complete and \(G\) universally complete. The main result is worded as follows. Theorem 3.2. For \(n\)-linear orthoregular operators \(S_1,\dots,S_N,S:E^n\to G\) the following are equivalent: (1) The inequalities \(\pi S_1(x_1,\dots,x_n)\leq0,\dots,\pi S_N(x_1,\dots,x_n)\leq0\) imply \(\pi S(x_1,\dots,x_n)\leq0\) for all members \(x_1,\dots,x_n\in E\) and for every band projection \(\pi\) in \(G\). (2) There exists positive orthomorphisms \(\alpha_1,\dots,\alpha_N\in Orth(G^u)\) such that \(S=\alpha_1S_1+\dots+\alpha_NS_N\). The proof relies on Kutateladze's stratification principle. A similar result is established when the domain of the operators under considerations is a vector space equipped with a disjointness relation satisfying certain additional conditions. Some open questions are also formulated. системы линейных неравенств лемма Фаркаша векторная решетка принцип стратификации Кутателадзе орторегулярный полилинейный оператор отношение дизъюнктности. simultaneous linear inequalities Farkas Lemma vector lattice Kutateladze's stratification principle orthoregular multilinear operator disjointness relation. Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2026-738. 1 Farkas Gy. A Fourier fele mechanikai elv alkalmazasanak algebrai alapja // Mathematikai es Termeszettudomanyi Ertesito. 1898. Vol. 16. P. 361-364. Farkas, Gy. A Fourier fele Mechanikai Elv Alkalmazasanak Algebrai Alapja, Mathematikai es Termeszettudomanyi Ertesito, 1898, vol. 16, pp. 361-364. 2 Farkas J. Theorie der einfachen Ungleichungen // J. Reine Angew. Math. 1902. Vol. 124. P. 1-2. Farkas, J. Theorie der Einfachen Ungleichungen, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 1902, vol. 124, pp. 1-2. 3 Kjeldsen T. H. Different motivations and goals in the historical development of the theory of systems of linear inequalities // Arch. Hist. Exact Sci. 2002. Vol. 56, № 6. P. 459-538. DOI: 10.1007/s004070200057. Kjeldsen, T. H. Different Motivations and Goals in the Historical Development of the Theory of Systems of Linear Inequalities, Archive for History of Exact Sciences, 2002, vol. 56, no. 6, pp. 459-538. DOI: 10.1007/s004070200057. 4 Kjeldsen T. H. From Measuring tool to geometrical object: Minkowski's development of the concept of convex bodies // Arch. Hist. Exact Sci. 2008. Vol. 62, № 1. P. 59-89. DOI: 10.1007/s00407-007-0014-6. Kjeldsen, T. H. From Measuring Tool to Geometrical Object: Minkowski's Development of the Concept of Convex Bodies, Archive for History of Exact Sciences, 2008, vol. 62, no. 1, pp. 59-89. DOI: 10.1007/s00407-007-0014-6. 5 Dinh N., Jeyakumar V. Farkas' lemma: three decades of generalizations for mathematical optimization // Transactions in Operations Research. 2014. Vol. 22. P. 1-22. DOI: 10.1007/s11750-014-0319-y. Dinh, N. and Jeyakumar, V. Farkas' Lemma: Three Decades of Generalizations for Mathematical Optimization, Transactions in Operations Research, 2014, vol. 22, pp. 1-22. DOI: 10.1007/s11750-014-0319-y. 6 Dinh N., Jeyakumar V. Rejoinder on: Farkas' lemma: three decades of generalizations for mathematical optimization // Transactions in Operations Research. 2014. Vol. 22. P. 41-44. Dinh, N. and Jeyakumar, V. Rejoinder on: Farkas' Lemma: Three Decades of Generalizations for Mathematical Optimization, Transactions in Operations Research, 2014, vol. 22, pp. 41-44. 7 Bartle D. A short algebraic proof of the Farkas lemma // SIAM J. Optim. 2008. Vol. 19, № 1. P. 234-239. DOI: 10.1137/06067438. Bartle, D. A Short Algebraic Proof of the Farkas Lemma, SIAM Journal on Optimization, 2008, vol. 19, no. 1, pp. 234-239. DOI: 10.1137/06067438. 8 Bartle D. Separation theorems for convex polytopes and finitely-generated cones derived from theorems of the alternative // Linear Algebra Appl. 2012. Vol. 436. P. 3784-3789. DOI: 10.1016/j.laa.2011.12.009. Bartle, D. Separation Theorems for Convex Polytopes and Finitely-Generated Cones Derived from Theorems of the Alternative, Linear Algebra and its Applications, 2012, vol. 436, pp. 3784-3789. DOI: 10.1016/j.laa.2011.12.009. 9 Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. 488 с. Chernikov, S. N. Linear Inequalities, Moscow, Nauka, 1968, 488 p. 10 Floudas C. A., Pardalos P. M. Pardalosncyclopedia of Optimization / Floudas C. A., and Pardalos P. M. (eds.). Berlin-N.Y.: Springer, 2009. Floudas, C. A. and Pardalos, P. M. Pardalosncyclopedia of Optimization / Floudas C. A., and Pardalos P. M. (eds.), Berlin-New York, Springer, 2009. 11 Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 4. C. 759-762. Dubovitskii, A. Ya. and Milyutin, A. A. Extremum Problems with Certain Constraints, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1963, vol. 149, no. 4, pp. 759-762. 12 Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. Aizerman, M. A. and Gantmacher, F. R. Absolute Stability of Regulator Systems, San Francisco, Holden-Day, 1964. 13 Якубович В. А. \(S\)-процедура в нелинейной теории регулирования // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. Сер. 1. 1971. C. 62-77. Yakubovich, V. A. The \(S\)-Procedure in Non-Linear Control Theory, Vestnik Leningradskogo Universiteta, Seriya Matematika, Mekhanika, Astronomiya, 1971, vol. 1 pp. 62-77. 14 Polik I., Terlaky T. A survey of the \(S\)-lemma // SIAM Review. 2007. Vol. 49, № 3. P. 371-418. DOI: 10.1137/S003614450444614X. Polik, I. and Terlaky, T. A Survey of the \(S\)-Lemma, SIAM Review, 2007, vol. 49, no. 3, pp. 371-418. DOI: 10.1137/S003614450444614X. 15 Yang M., Xia Y., Wang Sh. Unifying Farkas lemma and \(S\)-lemma: new theory and applications in nonquadratic nonconvex optimization // J. Optim. Theory and Appl. 2022. Vol. 194, № 1. P. 353-363. DOI: 10.48550/arXiv.2109.03001. Yang, M., Xia, Y. and Wang, Sh. Unifying Farkas Lemma and \(S\)-Lemma: New Theory and Applications in Nonquadratic Nonconvex Optimization, J. Optim. Theory and Appl, 2022, vol. 194, no. 1, pp. 353-363. DOI: 10.48550/arXiv.2109.03001. 16 Huang Q. Y., Jeyakumar V., Li G., Huyen D. T. K. Convexifiable quadratic inequality systems: new minimax \(S\)-lemma and exact SOCPs for classes of distributionally robust optimization problems // J. Glob. Optim. 2025. Vol. 92, № 3. P. 535-568. DOI: 10.1007/s10898-025-01499-0. Huang, Q. Y., Jeyakumar, V., Li, G. and Huyen, D. T. K. Convexifiable Quadratic Inequality Systems: New Minimax \(S\)-Lemma and Exact SOCPs for Classes of Distributionally Robust Optimization Problems, Journal of Global Optimization, 2025, vol. 92, no. 3, pp. 535-568. DOI: 10.1007/s10898-025-01499-0. 17 Downey L. Farkas' lemma and multilinear forms // Missouri J. Math. Sci. 2009. Vol. 21, № 1. P. 65-67. DOI: 10.35834/mjms/1316032682. Downey, L. Farkas' Lemma and Multilinear Forms, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 2009, vol. 21, no. 1, pp. 65-67. DOI: 10.35834/mjms/1316032682. 18 Aron R., Garca D., Pinasco D., Zalduendo I. Farkas's lemma in the bilinear setting and evaluation functionals // Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat. 2023. Vol. 117, article no. 6. DOI: 10.1007/s13398-022-01337-y. Aron, R., Garc{\ia, D., Pinasco, D. and Zalduendo, I. Farkas's Lemma in the Bilinear Setting and Evaluation Functionals, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, F{\isicas y Naturales. Serie A, Matem{aticas, 2023, vol. 117, article no. 6. DOI: 10.1007/s13398-022-01337-y. 19 Aron R., Downey L., Maestre M. Zero sets and linear dependence of multilinear forms // Note Mat. 2005. Vol. 25, № 1. P. 49-54. DOI: 10.1285/i15900932v25n1p49. Aron, R., Downey, L. and Maestre, M. Zero Sets and Linear Dependence of Multilinear Forms, Note di Matematica, 2005, vol. 25, no. 1, pp. 49-54. DOI: 10.1285/i15900932v25n1p49. 20 Фрадков А. Л. Теоремы двойственности в некоторых невыпуклых экстремальных задачах // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 2. С. 357-383. Fradkov, A. L. Duality Theorems in Certain Nonconvex Extremal Problems, Siberian Mathematical Journal, 1973, vol. 14, no. 2, pp. 247-264. DOI: 10.1007/BF00967951. 21 Kutateladze S. S. One general method in operator theory // Владикавк. мат. журн. 2005. Т. 7, вып. 4. С. 35-37. Kutateladze, S. S. One General Method in Operator Theory, Vladikavkaz Math. J., 2005, vol. 7, no. 4, pp. 35-37. 22 Kusraev A. G. Around Kutateladze's stratification principle // Siberian Math. J. 2025. Vol. 66, № 5. P. 1285-1305. DOI: 10.1134/S0037446625050180. Kusraev A. G. Around Kutateladze's Stratification Principle, Siberian Mathematical Journal, 2025, vol. 66, no. 5, pp. 1285-1305. DOI: 10.1134/S0037446625050180. 23 Kutateladze S. S. Boolean models and simultaneous inequalities // Владикавк. мат. журн. 2009. Т. 11, вып. 3. С. 44-50. Kutateladze, S. S. Boolean Models and Simultaneous Inequalities, Vladikavkaz Math. J., 2009, vol. 11, no. 3, pp. 44-50. 24 Кутателадзе С. С. Новые подходы к лемме Фаркаша // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 98-109. Kutateladze, S. S. The Farkas Lemma Revisited, Siberian Mathematical Journal, 2010, vol. 51, no. 1, pp. 78-87. DOI: 10.1007/s11202-010-0010-y. 25 Kutateladze S. S. Boolean trends in linear inequalities // J. Appl. Industrial Math. 2010. Vol. 4, № 3. P. 340-348. DOI: 10.1134/S1990478910030051. Kutateladze, S. S. Boolean Trends in Linear Inequalities, Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2010, vol. 4, no. 3.--pp. 340-348. DOI: 10.1134/S1990478910030051. 26 Кутателадзе С. С. Полиэдральный принцип Лагранжа // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 3. С. 606-609. Kutateladze, S. S. The Polyhedral Lagrange Principle, Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, no. 3, pp. 484-486. 27 Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators. Orlando: Academic Press, 2006. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators, Orlando, Academic Press, 2006. 28 Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978. Akilov, G. P. and Kutateladze, S. S. Uporyadochennye vektornye prostranstva [Ordered Vector Spaces], Novosibirsk, Nauka, 1978 (in Russian). 29 Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics. Vladikavkaz: Vladikavkaz Scientific Center Press, 2014. 400 c. (Trends in Science: South of Russia. A Mathematical Monograph. Vol. 6.). Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics, Trends in Science: South of Russia. A Mathematical Monograph, vol. 6, Vladikavkaz, Vladikavkaz Scientific Center Press, 2014. 30 Кусраев А. Г., Кутателадзе C. C. Субдифференциальное исчисление. Теория и приложения. М.: Наука, 2007. Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Subdifferentials: Theory and Applications, Dordrecht, Springer, 1995. 31 Jeyakumar V., Li G. I. Farkas’ lemma for separable sublinear inequalities without qualifications // Optim. Letters. 2009. Vol. 3. P. 537-545. DOI: 10.1007/s11590-009-0133-x. Jeyakumar, V. and Li, G. I. Farkas’ Lemma for Separable Sublinear Inequalities Without Qualifications, Optimization Letters, 2009, vol. 3, pp. 537-545. DOI: 10.1007/s11590-009-0133-x. 32 Boulabiar K. Products in almost \(f\)-algebras // Comment. Math. Univ. Carolinae. 2000. Vol. 41, № 4. P. 747-759. Boulabiar, K. Products in Almost \(f\)-Algebras, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 2000, vol. 41, no. 4, pp. 747-759. 33 Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: \(f\)-algebras and functional calculus // Comm. Algebra. 2006. Vol. 34, № 4. P. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885. Boulabiar, K. and Buskes, G. Vector lattice Powers: \(f\)-Algebras and Functional Calculus, Communications in Algebra, 2006, vol. 34, no. 4, pp. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885. 34 Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. Math. Anal. Appl. 2012. Vol. 388, № 2. P. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001. Bu, Q. and Buskes, G. Polynomials on Banach Lattices and Positive Tensor Products, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol. 388, no. 2, pp. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001. 35 Бондарев А. С. О множествах с дизъюнктными элементами // Изв. вузов. Матем. 1972. № 9. C. 10-16. Bondarev, A. S. Sets with Disjoint Elements, Soviet Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1972, vol. 16, no. 9, pp. 8-14. 36 Векслер А. И. О структурной упорядочиваемости алгебр и колец // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 2. C. 259-262. Veksler, A. I. On the Lattice Orderability of Algebras and Rings, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1965, vol. 164, no. 2, pp. 259-262 (in Russian). 37 Векслер А. И. Линейные пространства с дизъюнктными элементами и превращение их в векторные структуры // Учен. зап. Ленинградск. пед. ин-та им. А. И. Герцена. 1967. Т. 328. C. 19-43. (Сер. "Вопросы современной математики"). Veksler, A. I. Linear Spaces with Disjoint Elements and their Conversion into Vector Structures, Uchenye Zapiski Leningradskogo Gosudarstvennogo Pedagogicheskogo Instituta imeni A. I. Gertsena, 1967, vol. 328, pp. 19-43 (in Russian). 38 Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. Birkhoff, G. Lattice Theory, 3rd ed., Providence, American Mathematical Society, Col Pub., 1967. 39 Сорокина В. И. Понятие группы и линейного множества с дизъюнктными элементами // Уч. зап. Ленинградск. пед. инст. им. А. И. Герцена. 1955. Т. 103. C. 179-208. Sorokina, V. I. The Concept of a Group and a Linear Set with Disjoint Elements, Uchenye Zapiski Leningradskogo Gosudarstvennogo Pedagogicheskogo Instituta imeni A. I. Gertsena [Scientific Notes of the Herzen Leningrad State Pedagogical Institute], 1955, vol. 103, pp. 179-208 (in Russian). 40 Пинскер А. Г. Структурная характеризация функциональных пространств // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 1. C. 226-229. Pinsker, A. G. Structural Characterization of Functional Spaces, Uspekhi Matematicheskikh Nauk [Russian Mathematical Surveys], 1957, vol. 12, no. 1, pp. 226-229 (in Russian). 41 Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces I. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1971. Luxemburg, W. A. J. and Zaanen, A. C. Riesz Spaces I, Amsterdam, North-Holland Publ. Comp., 1971. 42 Kusraev A. G. Dominated Operators. Dordrecht: Kluver, 2000. Kusraev, A. G. Dominated Operators, Dordrecht, Kluver, 2000. 43 Векслер А. И. Григорий Яковлевич Лозановский (к 70-летию со дня рождения) // Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, № 3. C. 3-10. Veksler, A. I. Banach Cyclic Spaces and Banach Structures, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1973, vol. 213, no. 4, pp. 770-773 (in Russian). 44 Векслер А. И. Банаховы циклические пространства и банаховы структуры // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 4. C. 770-773. Veksler, A. I. Grigory Yakovlevich Lozanovsky (on the 70th anniversary of his birth), Vladikavkaz Math. J., 2007, vol. 9, no. 3, pp. 3-10 (in Russian). 45 Agud L., Calabuig J. M., Juan M. A., Sanchez-Perez E. A. Banach lattice structures and concavifications in Banach spaces // Mathematics. 2020. Vol. 8, № 1. P. 127. DOI: 10.3390/math8010127. Agud, L., Calabuig, J. M., Juan, M. A. and Sanchez-Perez, E. A. Banach Lattice Structures and Concavifications in Banach Spaces, Mathematics, 2020, vol. 8, no. 1, pp. 127. DOI: 10.3390/math8010127.