1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) О продолжении линейных селекторов On Extension of Linear Selectors 10.46698/o1056-6445-9027-m 18586 03 2026 28 1 98 107 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18586&SECTION_ID=656 Кусраева З. А. Kusraeva Z. A. zali13@mail.ru Саадулаева А. А. Saadulaeva A. A. gelieva00@mail.ru Владикавказский научный центр РАН, Россия, 363110, с. Михайловское, ул. Вильямса, 1 Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 1 Williams St., Mikhaylovskoye Village 363110, Russia Рассматривается секвенциально полное топологическое векторное пространство \(Y\) и линейно инвариантное семейство \(\mathcal{E}\) выпуклых подмножеств \(Y\). Будем говорить, что: \(\mathcal{E}\) обладает счетным свойством бинарного пересечения, если всякое счетное подсемейство попарно пересекающихся множеств имеет непустое пересечение; пара \((Y, \mathcal{E})\) допускает счетное продолжение линейных операторов, если для любых сепарабельного метризуемого топологического векторного пространства, его подпространства, нечетного замкнутозначного полунепрерывного сверху веера (субаддитивное положительное однородное многозначное отображение) и линейного оператора, определенного на подпространстве, и являющегося селектором данного веера, существует линейный селектор, продолжающий линейный оператор с подпространства на все пространство. Основной результат утверждает, что пара \((Y, \mathcal{E})\) допускает счетное продолжение линейных непрерывных операторов, если \(\mathcal{E}\) обладает счетным свойством бинарного пересечения. Обращение этого результата также имеет место при том дополнительном предположении, что рассматриваемое топологическое векторное пространство локально ограничено. We consider a sequentially complete topological vector space \(Y\) and a linearly invariant family \(\mathcal{E}\) of convex subsets of \(Y\). We say that: \(\mathcal{E}\) has the countable binary intersection property if every countable subfamily of pairwise intersecting sets has a nonempty intersection; a pair \((Y, \mathcal{E})\) is said to admit a countable extension of linear operators if for any separable metrizable topological vector space, its subspace, odd closed-valued upper semicontinuous fan (subadditive positively homogeneous set-valued mapping), and a linear operator defined on the subspace and being a selector of the given fan, there exists a linear selector that extends given linear operator from a subspace to the entire space. The main result states that the pair \((Y, \mathcal{E})\) admits a countable extension of continuous linear operators if \(E\) has the countable binary intersection property. The inverse to this result also holds under the additional assumption that the topological vector space under consideration is locally bounded. веер продолжение линейных операторов свойство счетного бинарного пересечения сепарабельность векторная решетка. fan extension of linear operators countable binary intersection property separability vector lattice. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-71-10094, https://rscf.ru/project/24-71-10094/. 1 Канторович Л. В. О полуупорядоченых линейных пространствах и их приложениях к теории линейных операций // Докл. АН СССР. 1935. Т. 4, № 1-2. С. 11-14. Kantorovich, L. V. On Partially Ordered Linear Spaces and Their Applications to the Theory of Linear Operations, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1935, vol. 4, no. 1-2, pp. 11-14 (in Russian). 2 Bonnice W., Silvermann R. The Hahn-Banach extension and the least upper bound properties are equivalent // Proc. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 18, № 5. P. 843-849. DOI: 10.1090/S0002-9939-1967-0215050-9. Bonnice, W. and Silvermann, R. The Hahn-Banach Extension and the Least Upper Bound Properties are Equivalent, Proceedings of the American Mathematical Society, 1967, vol. 18, no. 5, pp. 843-849. DOI: 10.1090/S0002-9939-1967-0215050-9. 3 To T.-O. The equivalence of the least upper bound property in ordered vector spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 30, № 2. P. 287-295. DOI: 10.1090/S0002-9939-1971-0417746-3. To, T.-O. The Equivalence of the Least Upper Bound Property in Ordered Vector Spaces, Proceedings of the American Mathematical Society, 1971, vol. 30, no. 2, pp. 287-295. DOI: 10.1090/S0002-9939-1971-0417746-3. 4 Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978. Akilov, G. P. and Kutateladze, S. S. Uporyadochennye vektornye prostranstva [Ordered Vector Spaces], Novosibirsk, Nauka, 1978 (in Russian). 5 Ioffe A. D. A new proof of the equivalence of the Hanch-Banach extension and the least upper bound properties // Proc. of the Amer. Math. 1981. Vol. 82, № 3. P. 385-389. DOI: 10.1090/s0002-9939-1981-0612725-1. Ioffe, A. D. A New Proof of the Equivalence of the Hanch-Banach Extension and the Least Upper Bound Properties, Proceedings of the American Mathematical Society, 1981, vol. 82, no. 3, pp. 385-389. DOI: 10.1090/s0002-9939-1981-0612725-1. 6 Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление: теория и приложения. М.: Наука, 2007. Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Subdifferentials. Theory and Applications, Dordrecht, Kluwer, 1995. 7 Abramovich Yu. A., Wickstead A. W. The regularity of order bounded operators into \(C(K)\). II // Quart. J. Math. Oxford. 1993. Vol. 44, № 3. P. 257-270. Abramovich, Yu. A. and Wickstead, A. W. The Regularity of Order Bounded Operators into $C(K)$. II, The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Second Series, 1993, vol. 44, no. 3, pp. 257-270. 8 Danet N. The space of regular operators with the Riesz decomposition property // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Suppl. 2002. Vol. 68. P. 373-380. Danet, N. The Space of Regular Operators with the Riesz Decomposition Property, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Suppl., 2002, vol. 68, pp. 373-380. 9 Кусраева З. А., Гелиева А. А. О мажорированном продолжении линейных операторов // Матем. заметки. 2020. Т. 108, № 2. C. 190-199. DOI: 10.4213/mzm12580. Kusraeva, Z. A. and Gelieva, A. A. On Dominated Extension of Linear Operators, Mathematical Notes, 2020, vol. 108, no. 2, pp. 171-178. DOI: 10.1134/S0001434620070184. 10 Rodriguez-Salinas B., Bou L. A Hahn-Banach theorem for arbitrary vector spaces // Boll. Un. Mat. Ital. 1974. Vol. 4, № 10. P. 390-393. Rodriguez-Salinas, B. and Bou, L. A Hahn-Banach Theorem for Arbitrary Vector Spaces, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 1974, vol. 10, no. 4, pp. 390-393. 11 Nachbin L. A theorem of the Hahn-Banach type for linear transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 68, № 1. P. 28-46. DOI: 10.1090/S0002-9947-1950-0032932-3. Nachbin, L. A Theorem of the Hahn-Banach Type for Linear Transformations, Transactions of the American Mathematical Society, 1950, vol. 68, no. 1, pp. 28-46. DOI: 10.1090/S0002-9947-1950-0032932-3. 12 Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. Kantorovich, L. V. and Akilov, G. P. Funkcional'nyj analiz [Functional Analysis], Moscow, Nauka, 1984 (in Russian). 13 Bentley H. L., Herrlich H. Countable choice and pseudometric spaces // Topology and Its Applications. 1998. Vol. 85, № 1-3. P. 153-164. DOI: 10.1016/S0166-8641(97)00138-7. Bentley, H. L. and Herrlich, H. Countable Choice and Pseudometric Spaces Topology and Its Applications, 1998, vol. 85, no. 1-3, pp. 153-164. DOI: 10.1016/S0166-8641(97)00138-7. 14 Zaanen A. C. Riesz Spaces II. Amsterdam: North Holland, 1983. Zaanen, A. C. Riesz Spaces II, Amsterdam, North Holland, 1983. 15 Aoki T. Locally bounded linear topological spaces // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1942. Vol. 18, issue 10. P. 588-594. DOI: 10.3792/pia/1195573733. Aoki, T. Locally Bounded Linear Topological Spaces, Proceedings of the Imperial Academy, 1942, vol. 18, no. 10, pp. 588-594.DOI: 10.3792/pia/1195573733. 16 Rolewicz S. Metric Linear Spaces. Warszawa: Hafner Press, 1972. Rolewicz, S. Metric Linear Spaces, Warszawa, Hafner Press, 1972. 17 Bourgin T. H. Linear topological spaces // Amer. J. Math. 1943. Vol. 65, № 4. P. 637-659. DOI: 10.2307/2371871. Bourgin, T. H. Linear Topological Spaces, American Journal of Mathematics, 1943, vol. 65, no. 4, pp. 637-659. DOI: 10.2307/2371871. 18 Hyers D. H. Locally bounded linear topological spaces // Rev. Ci. Lima. 1939. Vol. 41. P. 555-574. Hyers, D. H. Locally Bounded Linear Topological Spaces, Revista de Ciencias (Lima),1939, vol. 41, pp. 555-574.