1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Conditional Bases in the Matrix Space with the Cut-Norm

Условные базисы в пространстве матриц с кат-нормой

10.46698/b6298-9094-1158-n

19341

06 2026

28 2 5 19

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19374&SECTION_ID=669

Асташкин

С. В.

Astashkin

S. V.

astash56@mail.ru

Бахтин

В. И.

Bakhtin

V. I.

vibakhtin@list.ru

Лыков

К. В.

Lykov

K. V.

alkv@list.ru

Самарский национальный исследовательский университет им. академика С. П. Королева, Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34 Samara National Research University, 34 Moskovskoye Shosse, Samara 443086, Russia

Белорусский государственный университет, Беларусь, 220030, Минск, пр. Независимости, 4 Belarusian State University, 4 Nezavisimosti Ave., Minsk 220030, Belarus

Белорусский государственный университет, Беларусь, 220030, Минск, пр. Независимости, 4 Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 11 Surganova St., Minsk 220072, Belarus

In the paper we consider the space \(\mathcal{L}_{0,1}\) of infinite matrices \((a_{ij})_{i,j=1}^\infty\), where \(a_{ij}\in\mathbb{R}\), equipped with a cut-norm. The cut-norm of a matrix appears naturally in various areas of discrete mathematics, and is also used in functional analysis. It is equivalent to the operator norm of a matrix considered as a mapping from the space \(c_0\) of sequences converging to zero (or from \(l^\infty\)) to \(l^1\). It is proved that the set of matrix units \(\{E_{ij}\}_{i,j=1}^\infty\) forms a system of random unconditional convergence (RUC) in the space \(\mathcal{L}_{0,1}\), but is not a system of unconditional convergence. This system is linearly full in \(\mathcal{L}_{0,1}\) and, being enumerated in a certain order, may turn out to be a conditional basis. We obtain both necessary and sufficient conditions for a bijection \(\ell\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}^2\), under which the sequence \((E_{\ell(k)})\) forms a basis in \(\mathcal{L}_{0,1}\). In particular, any successive filling of the corner squares leads to a basis, while the triangular filling not. It is shown that random permutations of the sequence \((E_{\ell(k)})\) almost surely do not form a basis. The problem of a complete characterization of all bijections \(\ell\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}^2\) that lead to the basis \((E_{\ell(k)})\) is set up, and it is constructively shown that the proposed necessary and sufficient conditions do not provide a complete answer to this problem.

В работе рассматривается пространство \(\mathcal{L}_{0,1}\) бесконечных матриц вида \((a_{ij})_{i,j=1}^\infty\), где \(a_{ij}\in\mathbb{R}\), снабженное кат-нормой. Кат-норма матрицы естественным образом появляется в разных разделах дискретной математики, но используется и в функциональном анализе. Она эквивалентна операторной норме матрицы, рассматриваемой как отображение из пространства \(c_0\) сходящихся к нулю последовательностей (или из \(l^\infty\)) в \(l^1\). В работе доказано, что множество матричных единиц \(\{E_{ij}\}_{i,j=1}^\infty\) образует систему случайной безусловной сходимости в пространстве \(\mathcal{L}_{0,1}\), но при этом не является системой безусловной сходимости. Эта система полна в \(\mathcal{L}_{0,1}\), и при некотором упорядочивании может претендовать на роль условного базиса. В работе получены как необходимое, так и достаточное условия на биекцию \(\ell\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}^2\), при выполнении которых последовательность \((E_{\ell(k)})\) образует базис в \(\mathcal{L}_{0,1}\). В частности, любое последовательное заполнение угловых квадратов приводит к базису, в то время как треугольное заполнение - нет. Показано, что случайные перестановки последовательности \((E_{\ell(k)})\) почти наверное не образуют базис. Поставлена проблема полной характеризации тех биекций \(\ell\colon \mathbb{N}\to \mathbb{N}^2\), которые приводят к базису \((E_{\ell(k)})\), и конструктивно показано, что предложенные необходимое и достаточное условия не дают полного ответа на эту проблему.

условный базис система случайной безусловной сходимости пространство бесконечных матриц операторная норма кат-норма.

conditional basis RUC system infinite matrix space operator norm cut-norm.

The work of the first author was completed as a part of the implementation of the development program of the Volga Region Scientific and Educational Mathematical Center (agreement no. 075-02-2025-1791). The second author was supported by the State Research Program "Convergence-2030", Project no. 1.08.3. The third author was supported by the State Research Program "Convergence-2025", Project no. 1.3.05, and by the State Research Program "Convergence-2030", Project no. 1.08.1.

Albiac, F. and Kalton, N. J. Topics in Banach Space Theory, Graduate Texts in Mathematics, New York, Springer, 2006.

Kashin, B. S. and Saakyan, A. A. Orthogonal Series, Translations of Mathematical Monographs, vol. 75, Providence, RI, American Mathematical Society, 1989.

Braverman, M. Sh. Independent Random Variables and Rearrangement Invariant Spaces, Cambridge, Cambridge University Press, 1994, 124 p.

Billard, P., Kwapien, S., Pelczynski, A. and Samuel, Ch. Biorthogonal Systems of Random Unconditional Convergence in Banach Spaces, Longhorn Notes. Texas Functional Analysis Seminar, 1985-1986, Texas, Austin, University of Texas at Austin, 1986, pp. 13-35.

Wojtaszczyk, P. Every Separable Banach Space Containing \(c_0\) Has a RUC System, Longhorn Notes. Texas Functional Analysis Seminar, 1985-1986, Texas, Austin, University of Texas at Austin, 1986, pp. 37-39.

Garling, D. J. H. and Tomczak-Jaegermann, N. RUC Systems and Besselian Systems in Banach Spaces, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1989, vol. 106, no. 1, pp. 163-168. DOI: 10.1017/S0305004100068055.

Dodds, P. G., Semenov, E. M. and Sukochev, F. A. RUC Systems in Rearrangement Invariant Spaces, Studia Mathematica, 2002, vol. 151, pp. 161-173. DOI: 10.4064/sm151-2-4.

Lopez-Abad, J. and Tradacete, P. Bases of Random Unconditional Convergence in Banach Spaces, Transactions of the American Mathematical Society, 2016, vol. 368, no. 12, pp. 9001-9032. DOI: 10.1090/tran/6636.

Astashkin, S. V., Curbera, G. P. and Tikhomirov, K. E. On the Existence of RUC Systems in Rearrangement Invariant Spaces, Mathematische Nachrichten, 2016, vol. 289, pp. 175-186. DOI: 10.1002/mana.201400189.

Astashkin, S. V. and Curbera, G. P. Random Unconditional Convergence and Divergence in Banach Spaces Close to \(L^1\), Revista Matematica Complutense, 2018, vol. 31, no. 2, pp. 351-377. DOI: 10.1007/s13163-017-0249-y.

Kwapien, S. and Pelczynski, A. The Main Triangle Projection in Matrix Spaces and Its Applications, Studia Mathematica, 1970, vol. 34, no. 3, pp. 43-68. DOI: 10.4064/sm-34-1-43-67.

Astashkin, S. V. and Lykov, K. V. Random Unconditional Convergence of Rademacher Chaos in \(L_\infty\) and Sharp Estimates for Discrepancy of Weighted Graphs and Hypergraphs, Mathematische Annalen, 2025, vol. 393, no. 1, pp. 407-438. DOI: 10.1007/s00208-025-03257-9.

Frieze, A. M. and Kannan, R. Quick Approximation to Matrices and Applications, Combinatorica, 1999, vol. 19, no. 2, pp. 175-220. DOI: 10.1007/s004930050052.

Alon, N., de la Vega, W. F., Kannan, R. and Karpinski, M. Random Sampling and Approximation of MAX-CSP Problems, Journal of Computer and System Sciences, 2003, vol. 67, no. 2, pp. 212-243. DOI: 10.1016/S0022-0000(03)00008-4.

Alon, N. Approximating Sparse Binary Matrices in the Cut-Norm, Linear Algebra and its Applications, 2015, vol. 486, pp. 409-418. DOI: 10.1016/j.laa.2015.08.024.

Alon, N. and Naor, A. Approximating the Cut-Norm via Grothendieck's Inequality, SIAM Journal on Computing, 2006, vol. 35, no. 4, pp. 787-803. DOI: 10.1137/S0097539704441629.

Lorentz, G. G. Direct Theorems on Methods of Summability, II, Canadian Journal of Mathematics, 1951, vol. 3, pp. 236-256.

Gelbaum, B. R. and J. de Lamadrid, C. Bases of Tensor Products of Banach Spaces, Pacific Journal of Mathematics, 1961, vol. 11, pp. 1281-1286.

Bottcher, A. and Grudsky, S. M. Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis, Basel, Springer, 2000.

Litvak, A. E. Properties of the Operator of Discrete Integration and Some Applications, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics, 1992, vol. 25, no. 4, pp. 28-30.