1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Банаховы пределы, банахова мера и свойства пространств интегрируемых функций Banach Limits, Banach Measure, and Properties of Spaces of Integrable Functions 10.46698/p4223-2689-0800-t 19351 06 2026 28 2 50 69 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19351&SECTION_ID=668 Дженжер Е. А. Dzhenzher E. A. catbordacheva@mail.ru Сакбаев В. Ж. Sakbaev V. Zh. fumi2003@mail.ru Московский физико-технический институт, РОССИЯ, 141701, Долгопрудный, Институтский пер., 9 Moscow Institute of Physics and Technology, 9 Institutskiy Per., Dolgoprudny 141701, Russia Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, РОССИЯ, 125047, Москва, Миусская пл., 4 Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS, 4 Miusskaia Pl., Moscow 125047, Russia Изучаются инвариантные относительно сдвига неотрицательные аддитивные функции множества на вещественной прямой, отличающиеся от меры Хаара отсутствием либо свойства счетной аддитивности, либо свойства \(\sigma\)-конечности. Определяемые банаховыми пределами банаховы меры на прямой конечно-аддитивны, неотрицательны и нормированы на единицу на всей прямой. Принимающая целые неотрицательные значения и значение \(+\infty\) считающая мера трансляционно инвариантна и счетно-аддитивна, но не является \(\sigma\)-конечной. Введены пространства Лебега \(L^p\) интегрируемых по трансляционно инвариантным мерам функций. Установлено отсутствие свойства сильной непрерывности унитарного представления группы сдвигов в гильбертовых пространствах квадратично интегрируемых по банаховой мере функций. Найдено инвариантное относительно сдвигов подпространство, сужение на которое унитарной группы сдвигов непрерывно в сильной операторной топологии. Установлено, что преобразование Фурье унитарно отображает подпространство сильной непрерывности на пространство функций, квадратично интегрируемых по считающей мере, но ортогональное дополнение подпространства непрерывности лежит в ядре преобразования Фурье. We study shift-invariant nonnegative additive set functions on the real line that differ from the Haar measure by the absence of either the property of countable additivity or the property of \(\sigma\)-finiteness. The Banach measures on the real line defined by Banach limits are finitely additive, nonnegative, and normalized to unity on the entire line. A counting measure taking nonnegative integer values and the value \(+\infty\) is translation-invariant and countably additive, but is not \(\sigma\)-finite. Lebesgue spaces \(L^p\) of functions integrable with respect to translation-invariant measures are introduced. The absence of the strong continuity property of the unitary representation of the shift group in Hilbert spaces of functions square-integrable with respect to the Banach measure is established. A shift-invariant subspace is found, the restriction of the unitary shift group to which is continuous in strong operator theory. It is established that the Fourier transform unitarily maps the subspace of strong continuity onto the space of functions that are square-integrable with respect to the counting measure, but the orthogonal complement of the subspace of continuity lies in the kernel of the Fourier transform. инвариантная мера банахов предел банахова мера пространства Лебега преобразование Фурье. invariant measure Banach limit Banach measure Lebesgue space Fourier transform. Статья подготовлена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по Соглашению № 075-15-2025-345. 1 Hausdorff F. Bemerkung uber den inhalt von punktmengen // Math. Ann. 1914. Vol. 75. P. 428-433. DOI: 10.1007/BF01563735. Hausdorff, F. Bemerkung uber den Inhalt von Punktmengen, Mathematische Annalen, 1914, vol. 75, pp. 428-433. DOI: 10.1007/BF01563735. 2 Натансон И. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с. Natanson, I. Theory of Functions of a Real Variable, New York, Frederick Ungar Publishing Co., 1974. 3 Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ "РХД", 2001. Banach, S. Theory of Linear Operations, Izhevsk, RHD, 2001. 4 Margulis G. A. Some remarks on invariant means // Monatshefte fur Mathematik. 1980. Vol. 90. P. 233-235. DOI: 10.1007/BF01295368. Margulis, G. A. Some Remarks on Invariant Means, Monatshefte fur Mathematik, 1980, vol. 90, pp. 233-235. DOI: 10.1007/BF01295368. 5 Sullivan D. For \(n \geq 3\) there is only one finitely additive rotationally invariant measure on the \(n\)-sphere defined on all Lebesgue measurable subsets // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1981. Vol. 4, no. 1. P. 121-123. DOI: 10.1090/S0273-0979-1981-14880-1. Sullivan, D. For \(n\geq 3\) There is Only One Finitely-Additive Rotationally-Invariant Measure on the \(n\)-Sphere Defined on All Lebesgue Measurable Sets, Bulletin of the American Mathematical Society {\rm(New Series{\rm), 1981, vol. 4, no. 1, pp. 121-123. DOI: 10.1090/S0273-0979-1981-14880-1. 6 Дринфельд В. Г. Конечно-аддитивные меры на \(S^2\) и \(S^3\), инвариантные относительно вращений // Функциональный анализ и его приложения. 1984. Т. 18. C. 77. Drinfeld, V. G. Finitely-Additive Measures on \(S^2\) and \(S^3\) Invariant with Respect to Rotations, Functional Analysis and Its Applications, 1984, vol. 18, no. 3, pp. 245-246. 7 Vershik A. M. Does there exist a lebesgue measure in the infinite-dimensional space? // Proc. Steklov Inst. Math. 2007. Vol. 259. P. 248-272. DOI: 10.1134/S0081543807040153. Vershik, A. M. Does there Exist a Lebesgue Measure in the Infinite-Dimensional Space? Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2007, vol. 259, no. 248-272. DOI: 10.1134/S0081543807040153. 8 Baker R. "Lebesgue measure" on \(R^{\infty}\) // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. Vol. 113, № 4. P. 1023-1029. DOI: 10.1090/S0002-9939-1991-1062827-X. Baker, R. ``Lebesgue measure'' on \(R^{\infty}\), Proceedings of the American Mathematical Society, 1991, vol. 113, no. 4, pp. 1023-1029. DOI: 10.1090/S0002-9939-1991-1062827-X. 9 Baker R. "Lebesgue measure" on \(R^{\infty}\). II // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 132, № 9. P. 2577-2591. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07372-1. Baker, R. ``Lebesgue measure'' on \(R^{\infty} \), II, Proceedings of the American Mathematical Society, 2004, vol. 132, no. 9, pp. 2577-2591. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07372-1. 10 Gill T., Kirtadze A., Pantsulaia G., Plichko A. Existence and uniqueness of translation-invariant measures in separable Banach spaces // Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2014. Vol. 50, № 2. P. 401-419. DOI: 10.7169/facm/2014.50.2.12. Gill, T., Kirtadze, A., Pantsulaia, G. and Plichko, A. Existence and Uniqueness of Translation Invariant Measures in Separable Banach Spaces, Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 401-419. DOI: 10.7169/facm/2014.50.2.12. 11 Sakbaev V. Z., Smolyanov O. G. Lebesgue-Feynman measures on infinite dimensional spaces // Int. J. Theor. Phys. 2021. Vol. 60. P. 650-654. DOI: 10.1007/s10773-020-04460-x. Sakbaev, V. Zh. and Smolyanov, O. G. Lebesgue-Feynman Measures on Infinite Dimensional Spaces, International Journal of Theoretical Physics, 2021, vol. 60, pp. 650-654. DOI: 10.1007/s10773-020-04460-x. 12 Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н. Квантование по Шредингеру бесконечномерных гамильтоновых систем с неквадратичной функцией Гамильтона // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 492, № 1. С. 65-69. DOI: 10.31857/S2686954320030200. Smolyanov, O. G. and Shamarov, N. N. Schrodinger Quantization of Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems with a Nonquadratic Hamiltonian Function, Doklady Mathematics, 2020, vol. 101, no. 3, pp. 227-230. DOI: 10.1134/S1064562420030205. 13 Завадский Д. В. Трансляционно-инвариантные меры на пространствах последовательностей // Тр. МФТИ. 2011. Т. 3, № 4. C. 116-122. Zavadsky, D. V. Shift-Invariant Measures on Sequence Spaces, Proceedings of the Moscow Institute of Physics and Technology, 2017, vol. 9, no. 4, pp. 142-148 (in Russia). 14 Сакбаев В. Ж. Усреднение случайных блужданий и сдвиг-инвариантные меры в гильбертовом пространстве // Теор. и матем. физика. 2017. Т. 191, № 3. C. 473-502. DOI: 10.4213/tmf9153. Sakbaev, V. Zh. Averaging of Random Walks and Shift-Invariant Measures on a Hilbert Space, Theoretical and Mathematical Physics, 2017, vol. 191, no. 3, pp. 886-909. DOI: 10.1134/S0040577917060083. 15 Sakbaev V. Z. Random walks and measures on hilbert space that are invariant with respect to shifts and rotations // J. Math. Sci. 2019. Vol. 241. P. 469-500. DOI: 10.1007/s10958-019-04438-z. Sakbaev, V. Zh. Random Walks and Measures on Hilbert Space that are Invariant with Respect to Shifts and Rotations, Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 241, pp. 469-500. DOI: 10.1007/s10958-019-04438-z. 16 Sakbaev V. Z. Application of Banach limits to invariant measures of infinite-dimensional hamiltonian flows // Ann. Funct. Anal. 2024. Vol. 15, № 30. DOI: 10.1007/s43034-024-00332-1. Sakbaev, V. Zh. Application of Banach Limits to Invariant Measures of Infinite-Dimensional Hamiltonian Flows, Annals of Functional Analysis, 2024, vol. 15, article no. 30. DOI: 10.1007/s43034-024-00332-1. 17 Бусовиков В. М., Сакбаев В. Ж. Пространства Соболева функций на гильбертовом пространстве, наделенном сдвиг-инвариантными мерами, и приближения полугрупп // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84, № 4. C. 694-721. DOI: 10.1070/IM8890. Busovikov, V. M. and Sakbaev, V. Zh. Sobolev Spaces of Functions on Hilbert Space Endowed with Shift-Invariant Measures and Approximations of Semigroups, Izvestiya: Mathematics, 2020, vol. 84, no. 4, pp. 694-721. DOI: 10.1070/IM8890. 18 Глазатов В. А., Сакбаев В. Ж. Меры в гильбертовом пространстве, инвариантные относительно гамильтоновых потоков // Уфим. мат. журн. 2022. Т. 14, № 1. C. 3-22. DOI: 10.13108/2022-14-2-3. Glazatov, V. A. and Sakbaev, V. Zh. Measures on a Hilbert Space that are Invariant with Respect to Hamiltonian Flows, Ufa Mathematical Journal, 2022, vol. 14, no. 2. DOI: 10.13108/2022-14-2-3. 19 Shelakov M. G. Extension of the generalized Lebesgue-Feynman-Smolyanov measure on a Hilbert space // Russ. J. Math. Phys. 2023 Vol. 30. P. 114-125. DOI: 10.1134/S1061920823010089. Shelakov, M. G. Extension of the Generalized Lebesgue-Feynman-Smolyanov Measure on a Hilbert Space, Russian Journal of Mathematical Physics, 2023, vol. 30, pp. 114-125. DOI: 10.1134/S1061920823010089. 20 Шамаров Н. Н., Шамолин М. В. Явный изоморфизм типа Бергмана между представлениями Березина и Смолянова бозонных пространств Фока // Теор. и матем. физика. 2025. Т. 223, № 1. С. 159-165. DOI: 10.4213/tmf10831. Shamarov, N. N. and Shamolin, M. V. Explicit Bergman-Type Isomorphism Between Berezin and Smolyanov Representations of Bosonic Fock Spaces, Theoretical and Mathematical Physics, 2025, vol. 223, no. 1, pp. 665-670.DOI: 10.1134/S0040577925040105. 21 Ван Ю. Трансляционная инвариантность обобщенных мер на гильбертовом пространстве с непрерывными пробными функциями // Труды МФТИ. 2024. Т. 16, № 4(64). С. 109-117. Yu, W. Translational Invariance of Generalized Measures on a Hilbert Space with Continuous Trial Functions, Proceedings of the Moscow Institute of Physics and Technology, 2024, vol. 64, no. 4, pp. 109-117. 22 Busovikov V. M., Sakbaev V. Z. Direct limit of shift-invariant measures on a Hilbert space // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, № 6. P. 1998-2006. DOI: 10.1134/S1995080223060136. Busovikov, V. M. and Sakbaev, V. Zh. Direct Limit of Shift-Invariant Measures on a Hilbert Space, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 6, pp. 1998-2006. DOI: 10.1134/S1995080223060136. 23 Семенов Е. М., Сукочев Ф. А., Усачев А. С. Геометрия банаховых пределов и их приложения // Успехи матем. наук. 2020. Т. 75, № 4. С. 725-763. DOI: 10.4213/rm9901. Semenov, E. M., Sukochev, F. A. and Usachev, A. S. Geometry of Banach Limits and Their Applications, Russian Mathematical Surveys, 2020, vol. 75, no. 4, pp. 725-763. DOI: 10.1070/RM9901. 24 Sukochev F., Usachev A., Zanin D. Generalized Limits with additional invariance properties and their applications to noncommutative geometry // Advances in Mathematics. 2013. Vol. 239. P. 164-189. DOI: 10.1016/j.aim.2013.02.012. Sukochev, F., Usachev, A. and Zanin, D. Generalized Limits with Additional Invariance Properties and their Applications to Noncommutative Geometry, Advances in Mathematics, 2013, vol. 239, pp. 164-189. DOI: 10.1016/j.aim.2013.02.012. 25 Glazatov V. A. Measure of the Banach limit on \(L_{\infty}({\mathbb R})\) // Lobachevskii J. Math. 2024. Vol. 45. P. 2495-2501. DOI: 10.1134/S1995080224603138. Glazatov, V. A. Measure of the Banach Limit on \(L_{\infty}({\mathbb R})\), Lobachevskii Journal of 26 Raimi R. A. Factorization of summability-preserving generalized limits // J. London Math. Soc. 1980. Vol. s2-22, № 3. P. 398-402. DOI: 10.1112/jlms/s2-22.3.398. Raimi, R. A. Factorization of Summability-Preserving Generalized Limits, Journal of the London Mathematical Society, 1980, vol. s2-22, no. 3, pp. 398-402. DOI: 10.1112/jlms/s2-22.3.398. 27 Сипачева О. В. Ультрафильтры: место встречи топологии, алгебры, комбинаторики и динамики (конспект лекций). URL: <a href="https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/ultrafilters-MK.pdf">https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/ultrafilters-MK.pdf</a>. Sipacheva, O. V. Ultrafilters: the Meeting Place of Topology, Algebra, Combinatorics and Dynamics (Lecture Notes), https:/\!/teach-in.ru/file/synopsis/pdf/ultrafilters-MK.pdf. 28 Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Ч. 1: общая теория. М.: УРСС, 2004. Dunford, N. and Schwartz, J. T. Linear Operators. Part 1: General Theory, Moscow, URSS, 2004.