1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Symmetric and Rearrangement-Invariant Sequence Spaces: a Unified Framework

Симметричные и инвариантные относительно перестановок пространства последовательностей: единый подход

10.46698/j5915-0785-9974-a

19355

06 2026

28 2 70 79

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19388&SECTION_ID=669

Занин

Д. В.

Zanin

D. V.

d.zanin@csu.edu.cn

Несипбаев

Е. Х.

Nessipbayev

Y. Kh.

y.nessipbayev@unsw.edu.au

Сукочев

Ф. А.

Sukochev

F. A.

f.sukochev@unsw.edu.au

Центральный Южный Университет, Китай, Чанша, 410075, ул. Шаошань Наньлу, 22 Central South University, 22 Shaoshan South Road, Changsha 410075, China

Университет Нового Южного Уэльса, Австралия, Новый Южный Уэльс 2052, Сидней, РК-3070 University of New South Wales, RC-3070, Sydney 2052, NSW, Australia

We establish the equivalence between two standard ways of defining symmetric sequence spaces. One approach, common in the theory of rearrangement-invariant spaces, requires invariance under all coordinate permutations together with solidity with respect to the lattice order. The other, used in the classical framework of Krein, Petunin and Semenov, is formulated in terms of the decreasing rearrangement of a sequence. We prove that, for every $p$-normed sequence space contained in $c_0$, these two definitions determine exactly the same class of spaces. The argument applies throughout the range $0 < p\leq1$. We also explain why the assumption $E\subset c_0$ is natural: outside $c_0$, the only rearrangement-invariant sequence space is $\ell_\infty$, up to equivalence of norms. Finally, we discuss the corresponding terminology for ideals of compact operators and its connection with unitarily invariant norms, thereby clarifying the passage from sequence spaces to operator ideals in this discrete setting.

Мы устанавливаем эквивалентность двух стандартных подходов к определению симметричных пространств последовательностей. Первый подход, распространенный в теории перестановочно-инвариантных пространств, требует инвариантности относительно всех перестановок координат вместе с солидностью относительно решеточного порядка. Второй подход, используемый в классической теории Крейна, Петунина и Семёнова, формулируется в терминах убывающей перестановки последовательности. Мы доказываем, что для всякого $p$-нормированного пространства последовательностей, содержащегося в $c_0$, эти два определения задают в точности один и тот же класс пространств. Аргумент применим во всём диапазоне $0 < p\leq 1$. Мы также объясняем, почему предположение $E\subset c_0$ является естественным: вне $c_0$ единственным перестановочно-инвариантным пространством последовательностей является $\ell_\infty$, с точностью до эквивалентности норм. Наконец, мы обсуждаем соответствующую терминологию для идеалов компактных операторов и ее связь с унитарно-инвариантными нормами, тем самым проясняя переход от пространств последовательностей к операторным идеалам в дискретной постановке.

симметричное пространство перестановочно-инвариантное пространство банахово пространство.

symmetric space rearrangement-invariant space Banach space.

Y. Nessipbayev was partially supported by the grant no.~AP26102625 of the Science Committee of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan. F. Sukochev was partially supported by the Australian Research Council (DP230100434).

Semenov, E. M. Embedding Theorems for Banach Spaces of Measurable Functions, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1964, vol. 156, pp. 1292-1295.

Lorentz, G. G. Bernstein Polynomials, Toronto, University of Toronto Press, 1953.

Krein, S. G., Petunin, Yu. I. and Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators, Translations of Mathematical Monographs, vol. 54, Providence, RI, American Mathematical Society, 1982. DOI: 10.1090/mmono/054.

Bennett, C. and Sharpley, R. C. Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics, vol. 129, Boston, MA, Academic Press, 1988.

Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. Classical Banach Spaces. II, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 97, Berlin-New York, Springer-Verlag, 1979.

Kalton, N. J., Peck, N. T. and Roberts, J. W. An $F$-Space Sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge, Cambridge University Press, 1984. DOI: 10.1017/CBO9780511662447.

Krein, S. G., Petunin, Y. I. and Semenov, E. M. Hyperscales of Banach Lattices, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1966, vol. 170, no. 2, pp. 265-267 (in Russian).

Krein, S. G., Petunin, Y. I. and Semenov, E. M. Scales of Banach Lattices of Measurable Functions, Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, 1967, vol. 17, pp. 293-322 (in Russian).

Semenov, E. M. A Scale of Spaces with an Interpolation Property, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1963, vol. 148, pp. 1038-1041 (in Russian).

Semenov, E. M. A New Interpolation Theorem, Functional Analysis and Its Applications, 1968, vol. 2, no. 2, pp. 158-168. DOI: 10.1007/BF01075950.

Semenov, E. M. Scales of Banach Spaces Connecting the Spaces $L_1$ and $L_\infty$, Candidate of Sciences Dissertation, Voronezh State University, 1964.

Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators and Estimates of Fourier Coefficients, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1967, vol. 176, pp. 1251-1254 (in Russian).

Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators in Symmetric Spaces, Doctor of Sciences Dissertation, Voronezh State University, 1968.

Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators in Symmetric Spaces, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1965, vol. 164, pp. 746-749 (in Russian).

Lord, S., McDonald, E., Sukochev, F. and Zanin, D. Singular Traces. Vol. $2.$ Trace Formulas, 2nd edition, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 46/2, De Gruyter, Berlin, 2023. DOI: 10.1515/9783110700176

Lord, S., Sukochev, F. A. and Zanin, D. Singular Traces. Vol. 1. Theory, 2nd edition, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 46/1, De Gruyter, Berlin, 2021. DOI: 10.1515/9783110378054.

Dodds, P. G., de Pagter, B. and Sukochev, F. A. Noncommutative Integration and Operator Theory, Progress in Mathematics, vol. 349, Cham, Birkhauser/Springer, 2023. DOI: 10.1007/978-3-031-49654-7.

Kalton, N. J. and Sukochev, F. A. Symmetric Norms and Spaces of Operators, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 2008, vol. 621, pp. 81-121. DOI: 10.1515/CRELLE.2008.059.

Sukochev, F. A. and Zanin, D. Symmetric Banach Sequence Spaces Respect Weyl Submajorization, Proceedings of the American Mathematical Society, 2023, vol. 51, no. 7, pp. 2907-2917.DOI: 10.1090/proc/15791.