1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) On Equi-Continuity of Bounded on Order Intervals Families of Semi-Norms Эквинепрерывность семейств полунорм, ограниченных на порядковых интервалах 10.46698/q3483-1455-3369-u 19345 06 2026 28 2 35 39 https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19378&SECTION_ID=669 Горохова С. Г. Gorokhova S. G. lanagor71@gmail.com Емельянов Э. Ю. Emelyanov E. Yu. emelanov@math.nsc.ru Сторожук К. В. Storozhuk K. V. stork931@gmail.com Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia Институт математики им. С. Л. Соболева, РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. ак. Коптюга, 4 Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyga Ave., Novosibirsk 630090, Russia Новосибирский государственный университет, Россия, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 1 Novosibirsk State University, 1 Pirogov St., Novosibirsk 630090, Russia We investigate conditions which provide equi-continuity of bounded on order intervals families of semi-norms. This investigation develops further recent results on uniform boundedness of bounded on order intervals families of linear operators from an ordered Banach space with a closed generating cone to a normed space. More precisely, we prove that a family of semi-norms on an ordered Banach space with a closed generating cone is equi-continuous if it is equi-bounded on order intervals. In particular, every semi-norm on an ordered Banach space with a closed generating cone is continuous, whenever it is bounded on order intervals. It leads to straightforward proofs of above-mentioned recent results on automatic continuity of certain linear operators and on uniform boundedness of some families of linear operators. Furthermore, we prove that every order-to-topology bounded set of linear operators from an ordered Banach space with a closed generating cone to a locally convex space is equi-continuous. Исследуются условия эквинепрерывности ограниченных на порядковых интервалах семейств полунорм. Данное исследование развивает недавние результаты о равномерной ограниченности ограниченных на порядковых интервалах семейств линейных операторов, действующих из упорядоченного банахова пространства с замкнутым порождающим конусом в нормированное пространство. Более точно, доказывается, что семейство полунорм на упорядоченном банаховом пространстве с замкнутым порождающим конусом эквинепрерывно, если оно эквиограничено на порядковых интервалах. В частности, полунорма на упорядоченном банаховом пространстве с замкнутым порождающим конусом непрерывна, если она является ограниченной на порядковых интервалах. Это ведет к прямым доказательствам вышеупомянутых результатов об автоматической непрерывности ряда линейных операторов, а также равномерной ограниченности некоторых семейств операторов. Например, доказывается, что всякое топологически совместно ограниченное на порядковых интервалах семейство линейных операторов, действующих из упорядоченного банахова пространства с замкнутым порождающим конусом в локально выпуклое пространство, является эквинепрерывным. упорядоченное банахово пространство порядковый интервал эквинепрерывное семейство полунорм. ordered Banach space order interval equi-continuous family of semi-norms. The work of the second author was carried out in the framework of the State Task to the Sobolev Institute of Mathematics (Project FWNF-2026-0022). 1 Abramovich, Y. A. and Aliprantis, C. D. An Invitation to Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, vol. 50, Providence, RI, American Mathematical Society, 2002, 530 p. Abramovich, Y. A. and Aliprantis, C. D. An Invitation to Operator Theory,Graduate Studies in Mathematics, vol. 50, Providence, RI, American Mathematical Society, 2002, 530 p. 2 Montgomery-Smith, S. and Semenov, E. M. Averaging of Fourier-Haar Coefficients, Sbornik: Mathematics, 1999, vol. 190, no. 10, pp. 1449-1463. DOI: 10.1070/SM1999v190n10ABEH000432. Montgomery-Smith, S. and Semenov, E. M. Averaging of Fourier-Haar Coefficients, Sbornik: Mathematics, 1999, vol. 190, no. 10, pp. 1449-1463.DOI: 10.1070/SM1999v190n10ABEH000432. 3 Gorokhova, S. On Compact (Limited) Operators Between Hilbert and Banach Spaces, Filomat, 2024, vol. 38, no. 33, pp. 11633-11637. DOI: 10.2298/FIL2433633G. Gorokhova, S. On Compact (Limited) Operators Between Hilbert and Banach Spaces,Filomat, 2024, vol. 38, no. 33, pp. 11633-11637. DOI: 10.2298/FIL2433633G. 4 Emelyanov, E., Erkursun-Ozcan, N. and Gorokhova, S. $d$-Operators in Banach Lattices, Siberian Mathematical Journal, 2025, vol. 66, no. 6, pp. 1499-1508. DOI: 10.1134/S003744662506014X. Emelyanov, E., Erkursun-Ozcan, N. and Gorokhova, S. $d$-Operators in Banach Lattices, Siberian Mathematical Journal, 2025, vol. 66, no. 6, pp. 1499-1508.DOI: 10.1134/S003744662506014X. 5 Emelyanov, E. Collective Order Convergence and Collectively Qualified Sets of Operators, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2026, vol. 23, no. 1, pp. 289-297. DOI: 10.33048/semi.2026.23.018. Emelyanov, E. Collective Order Convergence and Collectively Qualified Sets of Operators, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2026, vol. 23, no. 1, pp.289-297. DOI: 10.33048/semi.2026.23.018. 6 Emelyanov, E., Erkursun-Ozcan, N. and Gorokhova, S. Collective Order Boundedness of Sets of Operators Between Ordered Vector Spaces, Results in Mathematics, 2025, vol. 80, article no. 70. DOI: 10.1007/s00025-025-02386-6. Emelyanov, E., Erkursun-Ozcan, N. and Gorokhova, S. Collective Order Boundedness of Sets of Operators Between Ordered Vector Spaces, Results in Mathematics, 2025, vol. 80,article no. 70. DOI: 10.1007/s00025-025-02386-6. 7 Krein, S. G., Petunin, Yu. I. and Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators, Translation of Mathematical Monographs, vol. 54, Providence, RI, American Mathematical Society, 2002. Krein, S. G., Petunin, Yu. I. and Semenov, E. M. Interpolation of Linear Operators,Translation of Mathematical Monographs, vol. 54, Providence, RI, American Mathematical Society, 2002. 8 Aliprantis, C. D. and Tourky, R. Cones and Duality, Graduate Studies in Mathematics, vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society, 2007. Aliprantis, C. D. and Tourky, R. Cones and Duality, Graduate Studies in Mathematics, vol. 84,Providence, RI, American Mathematical Society, 2007. 9 Casini, E., Miglierina, E., Polyrakis, I. A. and Xanthos, F. Reflexive Cones, Positivity, 2013, vol. 17, pp. 911-933. DOI: 10.1007/s11117-012-0212-6. Casini, E., Miglierina, E., Polyrakis, I. A. and Xanthos, F. Reflexive Cones, Positivity, 2013, vol. 17, pp. 911-933. DOI: 10.1007/s11117-012-0212-6. 10 Mironov, A. V. Some Properties of Partially Ordered Topological Vector Spaces and Algebras, Russian Mathematical Surveys, 1979, vol. 34, no. 6, pp. 184-187. DOI: 10.1070/RM1979v034n06ABEH003332. Mironov, A. V. Some Properties of Partially Ordered Topological Vector Spaces and Algebras, Russian Mathematical Surveys, 1979, vol. 34, no. 6, pp. 184-187.DOI: 10.1070/RM1979v034n06ABEH003332. 11 Emelyanov, E. Automatic Boundedness of Some Operators Between Ordered and Topological Vector Spaces, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2026, vol. 28, no. 1, pp. 62-67. DOI: 10.46698/i3984-2243-2985-z. Emelyanov, E. Automatic Boundedness of Some Operators Between Ordered and Topological Vector Spaces, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2026, vol. 28, no. 1, pp. 62-67. DOI: 10.46698/i3984-2243-2985-z.