1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Фреймы с полным спарком в теореме Чеботарёва и их применение в восстановлении сигнала Full Spark Frames in Chebotarev's Theorem and Their Application in Signal Reconstruction 10.46698/e5734-0206-5941-z 19366 06 2026 28 2 108 117 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19366&SECTION_ID=669 Новиков С. Я. Novikov S. Ya. nvks@ssau.ru Самарский национальный исследовательский университет, РОССИЯ, 443086, Самара, Московское шоссе, 34 Samara University, 34 Moskovskoe shosse, Samara 443086, Russia Фреймы с полным спарком в конечномерных евклидовых (унитарных) пространствах - это полные системы, в которых каждая подсистема с количеством векторов, равном размерности пространства, полна. Теорема Чеботарёва о матрице дискретного преобразования Фурье оказалась исторически первой теоремой о равномерных фреймах Парсеваля с полным спарком. При минимальном количестве измерений фреймы с полным спарком обеспечивают инъективность нелинейного оператора, который преобразует сигнал в модули измерений. Приведены критерии инъективности ReLU-слоев. В бесконечномерных гильбертовых пространствах рассматриваются вопросы существования фреймов с полным спарком. Система с полным спарком в бесконечномерном пространстве - это система, в которой каждая бесконечная подсистема полна. Если нормы элементов фрейма отделены от нуля, то такой фрейм не может иметь полный спарк. Неизвестно, существуют ли фреймы общего вида с полным спарком. Рассматриваются вопросы существования равномерных фреймов Парсеваля в бесконечномерных пространствах. Full Spark Frames in finite-dimensional Euclidean (Unitary) spaces are complete systems in which each subsystem with a number of vectors equal to the dimension of the space is complete. Chebotarev's theorem on the discrete Fourier transform matrix turned out to be historically the first theorem on equi-normed full spark Parseval frames. When the number of measurement vectors is minimal, full spark frames ensure the injectivity of a nonlinear operator that converts the signal into measurement modules. This article provides an overview of the applications of frames in the theory of neural networks. In particular, it establishes criteria for the injectivity of ReLU-layers. The article also explores the existence of full spark frames in infinite-dimensional Hilbert spaces. In an infinite-dimensional Hilbert space, full spark systems are those in which every infinite subsystem is complete. If the norms of the frame elements are separated from zero, then such a frame cannot have a full spark. It is unknown whether there are general frames with a full spark. The existence of equal-norm Parseval frames in infinite-dimensional Hilbert spaces is considered. фрейм спарк инъективность измерительные векторы модули измерений ReLU-слои. frame spark injective operator measurement vectors measurement modules ReLU-layers Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, соглашение № 075-02-2025-1791. 1 Новиков С. Я., Севостьянова В. В. Равномерные жесткие фреймы Мальцева // Изв. РАН. Сер. матем. 2022. Т. 86, № 4. С. 162-174. DOI: 10.4213/im9137. Novikov, S. Ya. and Sevost'yanova, V. V. Maltsev Equal-Norm Tight Frames, Izvestiya: Mathematics, 2022, vol. 86, no. 4, pp. 770-781. DOI: 10.4213/im9137e. 2 Alexeev B., Cahill J., Mixon D. G. Full spark frames // J. Fourier Anal. Appl. 2012. Vol. 18, № 6. P. 1167-1194.DOI: 10.1007/s00041-012-9235-4. Alexeev, B., Cahill, J. and Mixon, D. G. Full Spark Frames, Journal of Fourier Analysis and Applications, 2012, vol. 18, no. 6, pp. 1167-1194. DOI: 10.1007/s00041-012-9235-4. 3 Чеботарев Н. Г. Математическая автобиография // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, № 4. С. 3-66. URL: http://www.mathnet.ru/rm8723. Chebotarev, N. G. Mathematical Autobiography, Russian Mathematical Surveys, 1948, vol. 3, no. 4, pp. 3-66 (in Russian). 4 Balan R., Casazza P., Edidin D. On signal reconstruction without phase // Appl. Comp. Harmon. Anal. 2006. Vol. 20, № 3. P. 345-356. DOI: 10.1016/J.ACHA.2005.07.001. Balan, R., Casazza, P. and Edidin, D. On Signal Reconstruction Without Phase, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2006, vol. 20, no. 3, pp. 345-356. DOI: 10.1016/J.ACHA.2005.07.001. 5 Избяков И. М., Новиков С. Я., Терехин П. А. Альтернативно полные системы и фреймы в задаче восстановления по модулям измерений // Функциональный анализ и его приложения. 2025. Т. 59, № 1. С. 18-28. DOI: 10.4213/faa4210. Izbiakov, I. M., Novikov, S. Ya. and Terekhin, P. A. Complement Property and Frames in the Phase Retrieval Problem, Functional Analysis and Its Applications, 2025, vol. 59, no. 1, pp. 11-18. DOI:10.1134/S1234567825010021. 6 Haider D., Ehler M., Balazs P. Injectivity of ReLU layers: tools from frame theory //Mathematical Foundations of Machine Learning. 2025. Vol. 1, article № 2. P. 1-40.DOI: 10.1007/s44439-025-00003-6. Haider, D., Ehler, M. and Balazs, P. Injectivity of ReLU Layers: Tools from Frame Theory, Mathematical Foundations of Machine Learning, 2025, vol. 1, article no. 2, pp. 1-40. DOI: 10.1007/s44439-025-00003-6. 7 Klee V. On the borelian and projective types of linear subspaces //Math. Scand. 1958. Vol. 6, № 2. P. 189-199. Klee, V. On the Borelian and Projective Types of Linear Subspaces, Mathematica Scandinavica, 1958, vol. 6, no. 2, pp. 189-199. 8 Вершинин Р. В. О представляющих и абсолютно представляющих системах в банаховом пространстве //Математическая физика, анализ, геометрия. 1998. Т. 5, № 1/2. С. 3-14. Vershinin, R. V. On Representative and Absolutely Representative Systems in Banach Spaces, Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya [Mathematical Physics, Analysis, Geometry], 1998, vol. 5, no. 1/2, pp. 3-14. (in Russian). 9 Chalendar I., Fricain E., Partington J. R. Overcompleteness of sequences of reproducing kernel in model spaces // Integr. equ. oper. theory. 2006. Vol. 56. P. 45-56. DOI: 10.1007/S00020-005-1413-1. Chalendar, I., Fricain, E. and Partington, J. R. Overcompleteness of Sequences of Reproducing Kernel in Model Spaces, Integral Equations and Operator Theory, 2006, vol. 56, pp. 45-56. DOI: 10.1007/S00020-005-1413-1. 10 Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases. New York: Birkhauser/Springer, 2016. 704 p. Christensen, O. An Introduction to Frames and Riesz Bases, New York, Birkhauser/Springer, 2016, 704 p. 11 Marcus A. W., Spielman D. A., Srivastava N. Interlacing families II: mixed characteristic polynomials and the Kadison-Singer problem // Ann. Math. 2015. Vol. 182, № 1. P. 327-350.DOI: 10.4007/annals.2015.182.1.8. Marcus, A. W., Spielman, D. A. and Srivastava, N. Interlacing Families II: Mixed Characteristic Polynomials and the Kadison-Singer Problem, Annals of Mathematics, 2015, vol. 182, no. 1, pp. 327-350. DOI: 10.4007/annals.2015.182.1.8. 12 Aldroubi A., Cabrelli C., Molter U., Tang S. Dynamical sampling // Appl. Harmon. Anal. 2017. Vol. 42, № 3. P. 378-401. DOI: 10.1016/j.acha.2015.08.014. Aldroubi, A., Cabrelli, C., Molter, U. and Tang, S. Dynamical Sampling, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2017, vol. 42, no. 3, pp. 378-401. DOI: 10.1016/j.acha.2015.08.014. 13 Christensen O., Hasannasab M., Philipp F., Stoeva D. The mystery of Carleson frames // Applied and Comput. Harmonic Analysis. 2024. Vol. 72. Article ID 101659, 5 p. DOI: 10.1016/j.acha.2024.101659. Christensen, O., Hasannasab, M., Philipp, F., and Stoeva, D. The Mystery of Carleson Frames, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2024, vol. 72, Article ID 101659, 5 p. DOI: 10.1016/j.acha.2024.101659. 14 Krishtal I., Miller B. Letter to the editor. Demystifying Carleson frames // Appl.Comput. Harmon. Anal. 2026. Vol. 80. Article ID 101811, 8 p. Krishtal, I. and Miller, B. Letter to the Editor. Demystifying Carleson Frames, Applied and Computational Harmonic Analysis, 2026, vol. 80, Article ID 101811, 8 p.