1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

On Proofs of the Existence of Non-Composite Polyhedra with Rhombic Vertices

О доказательствах существования несоставных многогранников с ромбическими вершинами

10.46698/v9042-5763-8845-q

19367

06 2026

28 2 118 128

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19399&SECTION_ID=669

Субботин

В. И.

Subbotin

V. I.

geometry@mail.ru

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М. И. Платова, Россия, 346400, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 Platov South Russian State polytechnic university (NPI), 132 Enlightenment St., Novocherkassk 346428, Russia

Previously, the author considered closed convex polyhedra in $E^3$ with symmetrical rhombic vertices and regular faces, the so-called $RR$-polyhedra, in two cases: 1) regular faces of such polyhedra are of the same type, 2) regular faces are of different types, but the polyhedra are composite. From the author's previously published works, it follows that in both cases the list of $RR$-polyhedra is complete. In the first case, there were twenty-four of them, and in the second, fifty-four. A vertex $V$ of a polyhedron is called rhombic if the vertex star $Star(V)$ consists of $n$ equal and identically located rhombi (not squares) having a common vertex $V$. If the vertex $V$ lies on the rotation axis of order $n$ of the star $Star(V)$, then $V$ is called symmetric. A symmetric rhombic vertex $V$ is called obtuse-angled if the rhombi of the star $Star(V)$ at the vertex $V$ meet at their obtuse angles. The star $Star(V)$ is then called symmetric rhombic. The faces of an $RR$-polyhedron can be divided into two non-empty disjoint sets: the set of equal symmetric rhombic stars that do not have common edges, and the set of regular faces. An example of an $RR$-polyhedron is an elongated rhombododecahedron. If an $RR$-polyhedron has regular faces of one type, then such an $RR$-polyhedron is classified as the first type. Some regular-faced polyhedra with conditional edges, such as the extended rhombododecahedron and the doubly complemented cuboctahedron, are special cases of $RR$-polyhedrons. In this case, the rhombic faces of regular-faced polyhedra with conditional edges, unlike the rhombi of $RR$-polyhedra, are composed only of regular triangles. In this paper, constructive proofs are given for the existence of four non-composite $RR$-polyhedra. For two of them the author previously found the angles of the rhombi that form symmetrical faceted stars of the vertices. In the case of the 25-sided polyhedron, the rhombic vertex has an acute-angled faceted star, i.e. the rhombi in it meet at their acute angles. And in the case of a 31-sided polyhedron the faceted star is obtuse. The existence of two other non-composite $RR$-polyhedra is proven on the basis of the regular dodecahedron and the cube.

Ранее автором рассматривались замкнутые выпуклые многогранники в $E^3$ с симметричными ромбическими вершинами и правильными гранями (так называемые $RR$-многогранники) в двух случаях: 1) правильные грани у таких многогранников одного типа, 2) правильные грани различного типа, но многогранники являются составными. Из ранее опубликованных работ автора следует, что в обоих случаях список $RR$-многогранников является полным. первом случае их оказалось двадцать четыре, а во втором - пятьдесят четыре. Вершина $V$ многогранника называется ромбической, если звезда $Star(V)$ из граней вершины $V$ многогранника состоит из $n$ равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной $V$. Если вершина $V$ лежит на оси вращения порядка $n$ звезды $Star(V)$, то $V$ называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина $V$ называется тупоугольной, если ромбы звезды $Star(V)$ в вершине $V$ сходятся своими тупыми углами. Звезда $Star(V)$ называется при этом симметричной ромбической. Грани $RR$-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества: множество равных симметричных ромбических звезд, не имеющих общих ребер, и множество правильных граней. Примером $RR$-многогранника является удлиненный ромбододекаэдр. Если в $RR$-многограннике правильные грани одного типа, то такой $RR$-многогранник отнесен к первому типу. Частными случаями $RR$-многогранников являются некоторые из правильногранников с условными ребрами, например удлиненный ромбододекаэдр и дважды дополненный кубооктаэдр. При этом ромбические грани правильногранных многогранников с условными ребрами в отличие от ромбов $RR$-многогранников, составлены только из правильных треугольников. В настоящей работе даны конструктивные доказательства существования четырех несоставных $RR$-многогранников. Для двух из них (25-гранника и 31-гранника) ранее автором были найдены углы ромбов, образующих симметричные гранные звезды вершин. В случае 25-гранника ромбическая вершина имеет остроугольную гранную звезду, т. е. ромбы в ней сходятся своими острыми углами, а в случае 31-гранника гранная звезда тупоугольная. Существование двух других несоставных $RR$-многогранников (132-гранника и 54-гранника) доказано на основе правильного додекаэдра и куба.

несоставной $RR$-многогранник гранная звезда вершины симметричная ромбическая вершина.

non-composite RR-polyhedron faceted vertex star symmetrical rhombic vertex.

Deza, М., Grishukhin, V. P. and Shtogrin, М. I. Izometricheskie poliedral'nye podgrafy v giperkubah i kubicheskih reshetkah [Isometric Polyhedral Subgraphs in Hypercubes and Cubic Lattices], Moscow, MCNMO, 2007, 192 p. (in Russian).

Cromwell, P. R. Polyhedra, Cambridge, Cambridge University Press, 1999, 451 p.

Johnson, N. W. Convex Polyhedra with Regular Faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, vol. 18, no. 1, pp. 169-200. DOI: 10.4153/CJM-1966-021-8.

Zalgaller, V. А. Convex Polyhedra with Regular Faces, Zapiski Nauchnykh Seminarov LOMI, 1967, vol. 2, pp. 5-221 (in Russian).

Tupelo-Schneck, R. Convex Regular-Faced Polyhedra with Conditional Edges, available at: <a href="http://tupelo-schneck.org/polyhedra">http://tupelo-schneck.org/polyhedra</a> (accessed: 29 December 2024).

Subbotin, V. I. On Two Classes of Polyhedra with Rhombic Vertices, Journal of Mathematical Sciences, 2020, vol. 251, pp. 531-538. DOI: 10.1007/s10958-020-05114-3.

Subbotin, V. I. Existence and Completeness of Enumeration of Three-Dimensional $RR$-Polyhedra, Geometr. metody v teorii upravleniya i matem. fizike [Geometric Methods in Control Theory and Mathematical Physics], Ryazan, Ryazan State University, 2021, p. 15 (in Russian).

Subbotin, V. I. On the Completenes of the List of Convex $RR$-Polyhedra, Chebyshevskii Sbornik, 2020, vol. 21, no. 1, pp. 297-309 (in Russian). DOI: 10.22405/2226-8383-2020-21-1-297-309.

Subbotin, V. I. On the Existence and Completeness of Enumeration of Three-Dimensional $RR$-Polyhedra, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2022,vol. 216, pp. 106-115 (in Russian). DOI: 10.36535/0233-6723-2022-216-106-115.

Subbotin, V. I. On the Enumeration of Convex $RR$-Polyhedra, Chebyshevskii Sbornik, 2023, vol. 24, no. 5, pp. 194-207 (in Russian). DOI: 10.22405/2226-8383-2023-24-5-194-207.

Subbotin, V. I. On the Composite $RR$-Polyhedra of the Second Type, Siberian Mathematical Journal, 2023, vol. 64, no. 2, pp. 500-506. DOI: 10.1134/S0037446623020209.

Subbotin, V. I. On Noncomposite $RR$-Polyhedra of the Second Type, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2023, vol. 221, pp. 104-114 (in Russian). DOI: 10.36535/0233-6723-2023-221-104-114.