1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) О существовании спорадического композиционного фактора, изоморфного \(J_2\), \(McL\) или \(HS\), в конечных группах с условием на граф простых чисел On the Existence of a Sporadic Composition Factor, Isomorphic to \(J_2\), \(McL\) or \(HS\) in Finite Groups with the Condition on the Prime Graph 10.46698/e0260-9676-5868-v 19865 09 2026 28 3 74 90 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19865&SECTION_ID=673 Зиновьева М. Р. Zinovieva M. R. zinovieva-mr@yandex.ru Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, РОССИЯ, 620108, Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16 N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, Russia Графом простых чисел (графом Грюнберга - Кегеля) конечной группы \(G\) называется граф \(GK(G)\), в котором вершинами служат простые делители порядка группы \(G\), и две различные вершины \(p\) и \(q\) смежны тогда и только тогда, когда \(G\) содержит элемент порядка \(pq\). Известны графы Грюнберга - Кегеля конечных простых неабелевых групп. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп по свойствам их графов Грюнберга - Кегеля. Мы исследуем композиционные факторы конечных групп с графом простых чисел как у известной простой группы. А. М. Старолетов в 2011 г. изучил конечные группы со спектром (множеством порядков элементов) как у конечной простой группы, имеющие спорадический композиционный фактор. Обобщая этот результат, мы рассматриваем вопрос о том, может ли композиционный фактор конечной группы с графом простых чисел как у конечной простой группы быть изоморфным спорадической группе. Более точно, в статье мы исследуем, может ли он являться одной из спорадических групп \(J_2\), \(McL\) или \(HS\). The prime graph (or the Gruenberg–Kegel graph) of a finite group \(G\) is a simple graph \(GK(G)\) whose vertices are the prime divisors of the order of \(G\), and two distinct vertices \(p\) and \(q\) are adjacent in \(GK(G)\) if and only if \(G\) contains an element of order \(pq\). The prime graphs of non-abelian finite simple groups are known. One of the most popular fields of research in finite group theory is the study of finite groups by properties of their prime graphs. We study non-abelian composition factors of finite groups with the same prime graphs as non-abelian finite simple groups. In 2011, A. M. Staroletov studied groups having the same spectrum (the set of all orders of their elements) as a finite simple group and a sporadic composition factor. Generalizing this result, we consider whether the composition factor of a finite group with the same prime graph as the prime graph of a finite simple group can be isomorphic to a sporadic group. More exactly, we investigate whether it can be one of the sporadic groups \(J_2\), \(McL\) or \(HS\). конечная группа композиционный фактор группа лиева типа знакопеременная группа спорадическая группа граф простых чисел (граф Грюнберга - Кегеля) finite group composition factor group of Lie type alternating group sporadic group prime graph (Gruenberg-Kegel graph) 1 Кондратьев А. С. Конечные группы с заданными свойствами их графов простых чисел // Алгебра и логика. 2016. Т. 55, № 1. С. 113–120. DOI: 10.17377/alglog.2016.55.108. Kondrat'ev, A. S. Finite Groups with Given Properties of Their Prime Graphs, Algebra and Logic, 2016, vol. 55, no. 1, pp. 77-82. DOI: 10.1007/s10469-016-9378-5. 2 Staroletov A. M. Sporadic composition factors of finite groups isospectral to simple groups // Сиб. электрон. матем. изв. 2011. № 8. С. 268–272. Staroletov, A. M. Sporadic Composition Factors of Finite Groups Isospectral to Simple Groups, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2011, no. 8, pp. 268-272. 3 Васильев А. В., Вдовин Е. П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682–725. Vasil'ev, A. V. and Vdovin, E. P. An Adjacency Criterion for the Prime Graph of a Finite Simple Group, Algebra and Logic, 2005, vol. 44, no. 6, pp. 381-406. DOI: 10.1007/s10469-005-0037-5. 4 Зиновьева М. Р. О существовании спорадического композиционного фактора в некоторых конечных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 134–148. DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-134-148. Zinovieva, M. R. O Sushchestvovanii Sporadicheskogo Kompozitsionnogo Faktora v Nekotorykh Konechnykh Gruppakh, Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 134-148. DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-134-148. 5 Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, № 2. P. 487–513. Williams, J. S. Prime Graph Components of Finite Groups, Journal of Algebra, 1981, vol. 69, no. 2, pp. 487-513. 6 Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. С. 787–797. Kondrat'ev, A. S. Prime Graph Components of Finite Simple Groups, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1990, vol. 67, no. 1, pp. 235-247. DOI: 10.1070/SM1990v067n01ABEH001363. 7 Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 2. С. 359–369. Kondrat'ev, A. S., and Mazurov, V. D. Recognition of Alternating Groups of Prime Degree from the Orders of Their Elements, Siberian Mathematical Journal, 2000, vol. 41, no. 2, pp. 294-302. DOI: 10.1007/BF02674599. 8 Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of Finite Groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. Conway, J. H., Curtis, R. T., Norton, S. P., Parker, R. A. and Wilson, R. A. Atlas of Finite Groups, Oxford: Clarendon Press, 1985, 252 p. 9 Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. Bd. 3. S. 265–284. Zsigmondy, K. Zur Theorie der Potenzreste, Monatshefte für Mathematik und Physik, 1892, vol. 3, pp. 265-284. 10 Васильев А. В., Горшков И. Б. О распознавании конечных простых групп со связным графом простых чисел // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 2. С. 292–299. Vasil'ev, A. V. and Gorshkov, I. B. On Recognition of Finite Simple Groups with Connected Prime Graph, Siberian Mathematical Journal, 2009, vol. 50, no. 2, pp. 233-238. DOI: 10.1007/s11202-009-0027-2. 11 Васильев А. В., Вдовин Е. П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 4. С. 425–470. Vasil'ev, A. V. and Vdovin, E. P. Cocliques of Maximal Size in the Prime Graph of a Finite Simple Group, Algebra and Logic, 2011, vol. 50, no. 4, pp. 291-322. DOI: 10.1007/s10469-011-9143-8. 12 Zavarnitsine A. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Elec. Math. Rep. 2009. Vol. 6. P. 1–12. Zavarnitsine, A. V. Finite Simple Groups with Narrow Prime Spectrum, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2009, vol. 6, pp. 1-12. 13 Кондратьев А. С. О распознаваемости спорадических простых групп \(HS\), \(J_3\), \(Suz\), \(O'N\), \(Ly\), \(Th\), \(Fi_{23}\) и \(Fi'_{24}\) по графу Грюнберга — Кегеля // Сиб. матем. журн. 2020. Т. 61, № 6. С. 1359–1365. DOI: 10.33048/smzh.2020.61.609. Kondrat'ev, A. S. On Recognition of the Sporadic Simple Groups HS, J3, Suz, O'N, Ly, Th, Fi23 and Fi'24 by the Gruenberg-Kegel Graph, Siberian Mathematical Journal, 2020, vol. 61, no. 6, pp. 1087-1092. DOI: 10.1134/S0037446620060099. 14 Staroletov A. M. On recognition of alternating groups by prime graph // Сиб. электр. матем. изв. 2017. Vol. 14. P. 994–1010. DOI: 10.17377/semi.2017.14.084. Staroletov, A. M. On Recognition of Alternating Groups by Prime Graph, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2017, vol. 14, pp. 994-1010. DOI: 10.17377/semi.2017.14.084.