1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Среднеквадратическое приближение функций в пространстве Бергмана и значение поперечников некоторых классов функций The Root-Mean-Square Approximations of Functions in Bergman Space and the Value of the Widths of Some Classes of Functions 10.46698/v5873-0367-2681-e 19877 09 2026 28 3 108 120 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19877&SECTION_ID=673 Палавонов К. К. Palavonov Q. Q. kurbonazar-1987@mail.ru Хуромонов Х. М. Khuromonov Kh. M. khuromon@mail.ru Международный университет туризма и предпринимательства Таджикистана, Таджикистан, 734055, Душанбе, пр. Борбад, 48/5 International University of Tourism and Entrepreneurship of Tajikistan, 48/5 Borbad Ave., Dushanbe 734055, Tajikistan Международный университет туризма и предпринимательства Таджикистана, Таджикистан, 734055, Душанбе, пр. Борбад, 48/5 International University of Tourism and Entrepreneurship of Tajikistan, 48/5 Borbad Ave., Dushanbe 734055, Tajikistan В работе найдены точные значения экстремальной характеристики специального вида, которая связывает наилучшее среднеквадратическое полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций \(f\in B_{2}^{(r)}\) \((r\in\mathbb{Z}_{+})\) с модулем непрерывности \(m\)-го порядка \(\omega_{m}(z^{r}f^{(r)},u)_{B_2}\) \(r\)-й производной \(f^{(r)}\), принадлежащей пространству Бергмана \(B_2\). При этом экстремальная характеристика содержит этот модуль не только под знаком интеграла, но и вне интеграла. Доказанное утверждение в теореме 1 является обобщением одного известного результата С. Б. Вакарчука и А. Н. Щитова [17], полученного для классического модуля непрерывности \(m\)-го порядка \(\omega_{m}(f^{(r)},t)_{L_2}\) периодических функций \(f\in L_{2}[0,2\pi]\) с производной \(f^{(r)}\in L_{2}[0,2\pi]\), на случай модуля непрерывности \(\omega_{m}(z^{r}f^{(r)},u)_{B_2}\) аналитических в единичном круге функций с производной \(f^{(r)}\in B_2\). Это позволяет вычислить точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного, гельфандовского и проекционного \(n\)-поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана \(B_2\). In this paper, the exact values of the extreme characteristic of a special kind, which connects the best polynomial approximation of analytical functions in a unit circle \(f\in B_{2}^{(r)}\) \((r\in\mathbb{Z}_{+})\) with modulus of continuity of \(m\)-th order \(\omega_{m}(z^{r}f^{(r)},u)_{B_2}\) of the \(r\)-th derivative \(f^{(r)}\) belonging to the Bergman space \(B_2\), are found. In this case, the extreme characteristic contains this modulus of continuity not only under the sign of the integral, but also outside the integral. The statement proved in Theorem 1 generalizes a well-known result by S. B. Vakarchuk and A. N. Shitova [17], obtained for the classical modulus of continuity of \(m\)-th order \(\omega_{m}(f^{(r)},t) _{L_2}\) of periodic functions \(f\in L_{2}[0,2\pi]\) with derivative \(f^{(r)}\in L_{2}[0,2\pi]\), to the case of the modulus of continuity \(\omega_{m}(z ^{r} f^{(r)},u) _{B_2}\) of analytic functions in the unit circle with derivative \(f^{(r)}\in B_2\). The obtained result provides the opportunity to compute the exact values of the Bernstein, Kolmogorov, linear, Gelfand, and projection \(n\)-widths of certain classes of functions in the Bergman space \(B_2\). среднеквадратическое приближение аналитических в круге функций пространство Бергмана \(n\)-поперечники root-mean-square approximation of analytic functions in the disk Bergman space \(n\)-width 1 Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964. Smirnov, V. I. and Lebedev, N. A. Functions of a Complex Variable: Constructive Theory, Cambridge, Mass., M.I.T. Press, 1968, 488 p. 2 Двейрин М. З. Поперечники и \(\varepsilon\)-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функц. анализ и прил. 1975. Т. 23. С. 32–46. Dveirin, M. Z. Widths and \(\varepsilon\)-Entropy of Classes of Functions Analytic in the Unit Circle, Teoriya Funktsiy, Funktsional’nyy Analiz i ikh Prilozheniya [Function Theory, Functional Analysis and Application], 1975, vol. 23, pp. 32–46 (in Russian). 3 Фарков Ю. А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из \(\mathbb{C}^n\) // Успех. матем. наук. 1990. Т. 45, № 5. С. 197–198. Farkov, U. A. Widths of Hardy Classes and Bergman Classes on the Ball in \(\mathbb{C}^n\), Russian Mathematical Surveys, 1990, vol. 45, no. 5, pp. 229–231. DOI: 10.1070/RM1990v045n05ABEH002677. 4 Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журн. 1990. Т. 42, № 7. С. 873–881. Vakarchuk, S. B. Diameters of Certain Classes of Functions Analytic in the Unit Disc. I, Ukrainian Mathematical Journal, 1990, vol. 42, no. 7, pp. 769–778. DOI: 10.1007/BF01062078. 5 Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2002. Т. 383, № 2. С. 171–174. Shabozov, M. Sh. Widths of Some Classes of Analytic Functions in the Bergman Space, Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2002, vol. 383, no. 2, pp. 171–174 (in Russian). 6 Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2005. Т. 48, № 3–4. С. 12–17. Langarshoev, M. R. The Best Approximation and the Value of the Widths of Some Classes of Functions in the Bergman Space, Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2005, vol. 48, no. 3–4, pp. 12–17 (in Russian). 7 Шабозов М. Ш., Хуромонов Х. М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана // Изв. вузов. Матем. 2020. № 2. С. 74–92. DOI: 10.26907/0021-3446-2020-2-74-92. Shabozov, M. Sh. and Khuromonov, Kh. M. On the Best Approximation in the Mean of Functions of a Complex Variable by Fourier Series in the Bergman Space, Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2020, no. 2, pp. 74–92. DOI: 10.26907/0021-3446-2020-2-74-92. 8 Шабозов М. Ш., Кадамшоев Н. У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2021. Т. 110, № 2. С. 266–281. DOI: 10.4213/mzm13054. Shabozov, M. Sh. and Qadamshoev, N. U. Sharp Inequalities between the Best Root-Mean-Square Approximations of Analytic Functions in the Disk and Some Smoothness Characteristics in the Bergman Space, Mathematical Notes, 2021, vol. 110, no. 2, pp. 248–260. DOI: 10.1134/S0001434621070269. 9 Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана \(B_{2,\gamma}\) // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2024. Т. 29, № 145. С. 65–76. DOI: 10.20310/2686-9667-2024-29-145-65-76. Langarshoev, M. R. The Best Approximation of Functions Analytic in a Unit Circle in the Bergman Weight Space \(B_{2,\mu}\), Russian Universities Reports. Mathematics, 2024, vol. 29, no. 145, pp. 65–76 (in Russian). DOI: 10.20310/2686-9667-2024-29-145-65-76. 10 Саидусайнов М. С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2009. Т. 52, № 9. С. 661–668. Saidusainov, M. S. The Best Polynomial Approximation and the Values of the Widths of Some Classes of Functions in the Weighted Bergman Space, Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2009, vol. 52, no. 9, pp. 661–668 (in Russian). 11 Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, вып. 1. С. 86–97. DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11400. Shabozov, M. Sh. and Saidusainov, M. S. Mean-Square Approximation of Complex Variable Functions by Fourier Series in the Weighted Bergman Space, Vladikavkaz Math. J., 2018, vol. 20, no. 1, pp. 86–97. DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11400. 12 Хуромонов Х. М. Точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и усредненными нормами конечных разностей в пространстве \(B_2\) и поперечники некоторых классов функций // Изв. вузов. Матем. 2022. № 3. С. 61–70. DOI: 10.26907/0021-3446-2022-3-61-70. Khuromonov, Kh. M. Exact Inequalities between the Best Polynomial Approximations and Averaged Norms of Finite Differences in the \(B_2\) Space and Widths of Some Classes of Functions, Russian Mathematics, 2022, vol. 66, pp. 50–58. DOI: 10.3103/S1066369X22030045. 13 Хуромонов Х. М. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана \(B_{2}\) // Изв. вузов. Матем. 2023. № 5. С. 71–81. DOI: 10.26907/0021-3446-2023-5-71-81. Khuromonov, Kh. M. On the Best Simultaneous Approximation of Functions in the Bergman Space \(B_2\), Russian Mathematics, 2023, vol. 67, pp. 50–59. DOI: 10.3103/S1066369X23050055. 14 Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 472 с. Korneychuk, N. P. Exact Constants in Approximation Theory, Moscow, Nauka, 1987, 472 p. (in Russian). 15 Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. 325 с. Tikhomirov, V. M. Some Questions of Approximation Theory, Moscow, MGU, 1976, 325 p. (in Russian). 16 Pinkus A. \(n\)-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 252 p. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge; vol. 7). DOI: 10.1007/978-3-642-69894-1. Pinkus, A. \(n\)-Widths in Approximation Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics; vol. 7, Berlin, Springer-Verlag, 1985, 294 p. 17 Вакарчук С. Б., Щитов А. Н. Наилучшие полиномиальные приближения в \(L_{2}\) и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журн. 2004. Т. 56, № 11. С. 1458–1466. Vakarchuk, S. B. and Shchitov, A. N. Best Polynomial Approximations in \(L_2\) and Widths of Some Classes of Functions, Ukrainian Mathematical Journal, 2004, vol. 56, no. 11, pp. 1738–1747. DOI: 10.1007/s11253-005-0148-0. 18 Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в \(L_2\) // Докл. АН ТаджССР. 1984. Т. 29, № 8. С. 415–418. Aynulloev, N. The Value of the Diameters of Some Classes of Differentiable Functions in \(L_2\), Doklady Akademii Nauk Tadzhikskoi SSR, 1984, vol. 29, no. 8, pp. 415–418 (in Russian). 19 Тайков Л. В. Наилучшее приближение дифференцируемых функций в метрике пространства \(L_2\) // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 4. С. 535–542. Taikov, L. V. Best Approximations of Differentiable Functions in the Metric of the Space \(L_2\), Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1977, vol. 22, no. 4, pp. 535–542. DOI: 10.1007/BF01146425. 20 Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 285–295. Taikov, L. V. Diameters of Certain Classes of Analytic Functions, Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1977, vol. 22, no. 2, pp. 650–656. DOI: 10.1007/BF01780976. 21 Шалаев В. В. О поперечниках в \(L_2\) классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43, № 1. С. 125–129. Shalaev, V. V. On Widths in \(L_2\) Classes of Differentiable Functions Defined by Higher-Order Moduli of Continuity, Ukrainian Mathematical Journal, 1991, vol. 43, no. 1, pp. 104–107 (in Russian).