Аннотация: Настоящая работа посвящена изучению некоторых классов однородных регулярных подалгебр алгебры всех комплекснозначных измеримых функций на единичном интервале. Известно, что степень трансцендентности унитальной коммутативной регулярной алгебры является одним из важных инвариантов таких алгебр наряду с булевой алгеброй ее идемпотентов. Также известно, что если \((\Omega, \Sigma, \mu)\) - однородное пространство с мерой Магарам, то две однородные унитальные регулярные подалгебры в \(S(\Omega)\) изоморфны тогда и только тогда, когда их булевы алгебры идемпотентов изоморфны, и степени трансцендентности этих алгебр совпадают. Пусть \(S(0,1)\) - алгебра всех (классов эквивалентности) измеримых комплекснозначных функций, и пусть \(AD^{(n)}(0,1)\) (\(n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}\)) - алгебра всех (классов эквивалентности) почти всюду \(n\)-раз асимптотически дифференцируемых функции на \([0, 1].\) В~работе доказано, что \(AD^{(n)}(0,1)\) является регулярной, цело-замкнутой, \(\rho\)-замкнутой, \(c\)-однородной подалгеброй в \(S(0,1)\) для всех \(n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\},\) где \(c\) - континуум. Далее мы покажем, что алгебры \(S(0,1)\) и \(AD^{(n)}(0,1)\) изоморфны для всех \(n\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}.\) В~качестве приложения этих результатов установлено, что размерность линейного пространства всех дифференцирований на \(S(0,1)\) и порядок группы всех сохраняющих полосу автоморфизмов алгебры \(S(0,1)\) совпадают и равны \(2^c.\) Мы также покажем, что алгебра Ли \(\operatorname{Der}S(0, 1)\), всех дифференцирований алгебры \(S(0,1)\), содержит подалгебру, изоморфную бесконечномерной алгебре Витта.
Образец цитирования: Ayupov, Sh. A., Karimov, Kh. and Kudaybergenov, K. K. Isomorphism Between the Algebra of Measurable Functions and Its Subalgebra of Approximately Differentiable Functions // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 25, № 2. C.25-37. DOI 10.46698/z5485-1251-9649-y
1. Neumann, J. V. On Regular Rings, Proceedings of the National Academy
of Sciences of the United States of America, 1936, vol. 22, no. 12, pp. 707-713.
DOI: 10.1073/pnas.22.12.707.
2. Neumann, J. V. Continuous Rings and Their Arithmetics,
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,
1937, vol. 23, no. 6, pp. 341-349. DOI: 10.1073/pnas.23.6.341.
3. Neumann, J. V. Continuous Geometry, Princeton, N.J., Princeton University Press, 1960.
4. Ayupov, Sh. A. and Kudaybergenov, K. K. Ring Isomorphisms of Murray-von Neumann Algebras,
Journal of Functional Analysis, 2021, vol. 280, no. 5, 108891. DOI: 10.1016/j.jfa.2020.108891.
5. Ayupov, Sh. A. and Kudaybergenov, K. K.
Ring Isomorphisms of \(\ast\)-Subalgebras of Murray-von Neumann Factors,
Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 12, pp. 2730-2739.
DOI: 10.1134/S1995080221120064.
6. Mori, M. Lattice Isomorphisms Between Projection Lattices of von Neumann Algebras,
Forum of Mathematics, Sigma, 2020, vol. 8, no. 49, 19 p. DOI: 10.1017/fms.2020.53.
7. Kusraev, A. G. Automorphisms and Derivations on a Universally Complete Complex \(f\)-Algebra,
Siberian Mathematical Journal, 2006, vol. 47, no. 1, pp. 77-85.
DOI: 10.1007/s11202-006-0010-0.
8. Ayupov, Sh. A., Kudaybergenov, K. K. and Karimov, Kh. Isomorphisms of Commutative Regular Algebras,
Positivity, 2022, vol. 26, Article no. 11, 15 p. DOI: 10.1007/s11117-022-00872-7.
9. Berberian, S. K. Baer \(\ast\)-Rings, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 195, New York, Berlin, Springer-Verlag, 1972. DOI: 10.1007/978-3-642-15071-5_-3.
10. Goodearl, K. R. Von Neumann Regular Rings,
Monographs and Studies in Mathematics, vol. 4, Boston, Massachusetts, London, Pitman, 1979.
11. Clifford, A. N. and Preston, G. B. The Algebraic Theory of Semigroup, Mathemtical Surveys, American Mathematical Society, 1961.
12. Ber, A. F., Chilin, V. I. and Sukochev, F. A. Non-trivial Derivations
on Commutative Regular Algebras, Extracta Mathematicae, 2006, vol. 21, no. 2, pp. 107-147.
13. Fremlin, D. Measure Algebras, Handbook of Boolean algebras, Vol. 3, Amsterdam, North-Holland, 1989, 877-980.
14. Gutman, A. E., Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. The Wickstead Problem,
Siberian Electronic Mathematical Reports, 2008, vol. 5, pp. 293-333.
15. Maharam, D. On Homogeneous Measure Algebras, Proceedings of the National
Academy of Sciences of the United States of America, 1942, vol. 28, no. 3, pp. 108-111.
DOI: 10.1073/pnas.28.3.108.
16. Vladimirov, D. A. Boolean Algebras in Analysis,
Mathematics and Its Applications, vol. 540, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2002.
DOI: 10.1007/978-94-017-0936-1.
17. Federer, H. Geometric Measure Theory, Heidelberg, New York, Springer, 1996.
18. Ber, A. F., Kudaybergenov, K. K. and Sukochev, F. A. Notes on Derivations of Murray-von Neumann Algebras,
Journal of Functional Analysis, 2020, vol. 279, no. 5, 108589. DOI: 10.1016/j.jfa.2020.108589.
19. Ber, A. F. Derivations on Commutative Regular Algebras,
Siberian Advances in Mathematics, 2011, vol. 21, pp. 161-169.
DOI: 10.3103/S1055134411030011.
20. Whitney, H. On Totally Differentiable and Smooth Functions, Pacific Journal of
Mathematics, 1951, vol. 1, no. 1, pp. 143-159.
DOI: 10.2140/pjm.1951.1.143.
21. Movshovich, E. E. Extension of Lipschitz Functions,
Mathematical Notes, 1980, vol. 27, pp. 92-93. DOI: 10.1007/BF01143005.
22. Jacobson, N. Lectures in Abstract Algebra. II. Linear Algebra,
New York, Berlin, Springer-Verlag, 1975. DOI: 10.1007/978-1-4684-7053-6.
23. Cartan, E. Les Groupes de Transformations Continus, Infinis, Simples,
Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 1909, vol. 26,
pp. 93-161. DOI: 10.24033/asens.603.
24. Bogachev, V. I. Measure Theory. Vol. I, Berlin, Springer-Verlag, 2007.
25. Ber, A. F., Kudaybergenov, K. K. and Sukochev, F. A. Derivation on Murray-von Neumann Algebras,
Russian Mathematical Surveys, 2019, vol. 74, no. 5, pp. 950-952.
DOI: 10.4213/rm9902.
26. Ber, A. F., Kudaybergenov, K. K. and Sukochev, F. A. Derivations of Murray-von Neumann Algebras,
Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 2022, vol. 791, no. 10, pp. 283-301.
DOI: 10.1515/crelle-2022-0051.
27. Kusraev, A. G. Dominated Operators, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000.
DOI: 10.1007/978-94-015-9349-6_-4.
