Исследуется характер нулей одной целой функции, возникшей в теории линейных обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Функция является трансцендентной, элементарной, нецелого порядка \(\rho=1/2\). Она простым образом зависит от комплексного параметра \(\hskip1pt p\). Спрашивается, возможны ли значения \(p\), при которых функция имеет кратные нули? В работе найден полный ответ на поставленный вопрос и показано, что существует счетное множество значений \(p=p_n\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\), при каждом из которых изучаемая целая функция помимо бесконечного числа простых нулей имеет в точности один нуль кратности два. Дано описание как самого множества таких значений \(p_n\), так и соответствующих кратных нулей. Итоговый результат выражен в терминах корней трансцендентного уравнения \( sh z=z\), анализу которого посвящен заключительный раздел работы. Здесь анонсированы новые "неасимптотические" оценки, применимые ко всем корням уравнения в области \(z\ne 0\) и дающие для этих корней весьма точные зоны локализации. Численные расчеты подтверждают наши аналитические выводы. Имеются полезные связи с теорией распределения нулей целых функций типа Миттаг-Леффлера и с некоторыми спектральными задачами из математической физики.
Ключевые слова: целые функции, гиперболические функции, распределение нулей, кратные нули, трансцендентные уравнения, обратные задачи для дифференциальных уравнений
Образец цитирования: Алмохамед М., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. О кратных нулях одной целой функции, важной для теории обратных задач // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 1. С.5-21. DOI 10.46698/x2987-6171-9353-j
1. Тихонов И. В., Алмохамед М. Обратная задача с переопределением третьего рода
для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка //
Диф. уравнения. 2022. Т. 58, № 7. С. 890-911. DOI: 10.31857/S0374064122070032.
2. Алмохамед М., Тихонов И. В. Примеры присоединенных решений в линейных обратных задачах // Челябинский физ.-мат. журн. 2022. Т. 7, № 4. С. 395-411. DOI: 0.47475/2500-0101-2022-17401.
3. Алмохамед М., Тихонов И. В. О некоторых спектральных исследованиях, связанных с теорией обратных задач // Современные проблемы теории функций и их приложения: матер. 21-й междунар. Саратов. зимней шк. Саратов: СГУ, 2022. C. 20-26.
4. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Алмохамед М. О некоторых трансцендентных уравнениях,
важных для математической физики // Современные проблемы теории функций и их приложения: матер. 21-й междунар. Саратов. зимней шк. Саратов: СГУ, 2022. С. 294-299.
5. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
6. Попов А. Ю., Седлецкий А. М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера // Соврем. математика. Фундам. направления. 2011. Т. 40. С. 3-171.
7. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с.
8. Hardy G. H. On the zeroes of the integral function \(x-\sin x=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n+1}/(2n+1)!\) // The Messenger of Mathematics. 1902. Vol. 31, № 11. P. 161-165.
9. Hillman A. P., Salzer H. E. Roots of \(\sin z=z\) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Ser. 7. 1943. Vol. 34, № 235. P. 575. DOI: 10.1080/14786444308521415.
10. Robbins C. I., Smith R. C. T. A table of roots of \(\sin z=-z\) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Ser. 7. 1948. Vol. 39, № 299. P. 1004-1005. DOI: 10.1080/14786444808521711.
11. Burniston E. E., Siewert C. E. Exact analytical solutions of the transcendental equation \(\alpha\sin\zeta=\zeta\) // SIAM J. Appl. Math. 1973. Vol. 24, № 4. P. 460-466. DOI: 10.1137/0124048.
12. Fettis H. E. Complex roots of \(\sin z=az\), \(\cos z=az\), \(\cosh z=az\) // Math. Comp. 1976. Vol. 30, № 135. P. 541-545. DOI: 10.1090/S0025-5718-1976-0418401-9.
13. Misici L. Numerical solutions of two transcendental equations // Math. Comp. 1984. Vol. 42, № 166. P. 589-595. DOI: 10.1090/S0025-5718-1984-0736454-X.
14. Hansen E. B. Root structure and numerical solution of the equation \(\sin z=cz\) // Appl. Math. Let. 1997. Vol. 10, № 2. P. 33-38. DOI: 10.1016/S0893-9659(97)00007-4.
15. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe // Ingenieur-Archiv (Archive of Applied Mechanics). 1940. Vol. 11. P. 125-149.
DOI: 10.1007/BF02084699.
16. Buchwald V. T. Eigenfunctions of plane elastostatics. I. The strip // Proc. Royal Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci. 1964. Vol. 277, № 1370. P. 385-400. DOI: 10.1098/rspa.1964.0029.
17. Joseph D. D. The convergence of biorthogonal series for biharmonic and Stokes flow edge problems. Part I // SIAM J. Appl. Math. 1977. Vol. 33, №. 2. P. 337-347.
DOI: 10.1137/0133021.
18. Katopodes F. V., Davis A. M. J., Stone H. A. Piston flow in a two-dimensional channel // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12, № 5. P. 1240-1243. DOI: 10.1063/1.870373.
19. Barsan V. Algebraic approximations for transcendental equations with applications in nanophysics // Philosophical Magazine. 2015. Vol. 95, № 27. P. 3023-3038.
DOI: 10.1080/14786435.2015.1081425.
20. Маркушевич А. И. Целые функции. Элементарный очерк. Изд. 2-е. М.: Наука, 1975. 120 с.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
