Весовой индекс концентрации

Гайсин А. М. , Гайсин Р. А.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 1.С.21-35.

Аннотация:
В терминах весового индекса концентрации исследуется поведение функции \(|W(re^{i\theta})|^{-1}\) при \(\theta \to 0\), где \(W\) - четная целая функция экспоненциального типа, имеющая только вещественные нули. Этот вопрос актуален в ряде задач комплексного анализа, связанных с усиленной неполнотой (усиленной минимальностью) системы экспонент на семействе кривых, интерполяцией типа Павлова - Коревара - Диксона, аналитическим продолжением предельных функций последовательностей полиномов из экспонент. Этот круг задач восходит к следующей задаче А. Ф. Леонтьева, поставленной им в 1956 году: при каких условиях \(\sup_{\theta \ne 0, \pi} H(\theta) < \infty,\)  где \(H(\theta)\) - индикатриса (индикатор) функции \(W^{-1}(\lambda)\), \(\lambda = re^{i\theta}\). В работах А. Ф. Леонтьева и Э. Байет были получены некоторые оценки для этого индикатора, однако они оказались очень грубыми. Для произвольных целых функций уточненного порядка И. Ф. Красичковым в 1965 году была доказана теорема, дающая ответ на вопрос А. Ф. Леонтьева. Как было показано, необходимым и достаточным условием конечности индикатора \(H(\theta)\) является конечность индекса концентрации последовательности \(\Lambda\) нулей целой функции \(W\), подсчитываемого через соответствующую функцию сравнения при данном уточненном порядке. Особый интерес представляет случай, когда последовательность \(\Lambda\) является интерполяционной. В этом случае, как показал Б. Берндсон, функцией сравнения служит некоторая вогнутая мажоранта \(\omega\) из класса сходимости. Однако эта функция (вес) не обязана иметь правильное изменение в бесконечности. Поэтому случай веса такого типа и рассматривается в настоящей статье. Основной результат: для того, чтобы весовой нижний индикатор \(H(\omega, \theta)\) функции \(W\) был равномерно ограничен по \(\theta \in (0, \pi)\) снизу, необходимо и достаточно, чтобы весовой индекс концентрации \(I_\Lambda(\omega, \mathbb{R})\) был конечен.

Ключевые слова: целая функция, нижний индикатор, коиндикатриса, максимальная плотность, весовой индекс концентрации

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы