О типе Полиа целой функции

Малютин К. Г.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 1.С.56-69.

Аннотация:
Пусть \(f\) - целая функция, \(M(r,f)=\max\nolimits_{|z|=r}|f(z)|\) - максимум модуля функции \(f\) в круге \(|z|\leq r\). В статье рассматриваются функции плотности максимума модуля функции \(f\), котоpые вычисляются по фоpмулам \(M(\alpha)=\varlimsup\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\ \underline M(\alpha)=\varliminf\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\quad\alpha\geq 0\,,\) где \(\rho(r)\) - уточненный порядок в смысле Валирона, \(\lim\nolimits_{r\to+\infty}\rho(r)=\varrho\geq 0\). Доказывается, что \(M(\alpha)\) и \(\underline M(\alpha)\) являются \(\varrho\)-полуаддитивными функциями. Вводится определение типа \(\sigma_p(f)\) и минимального типа \(\underline\sigma_p(f)\) в смысле Полиа функции \(f\) по формулам \(\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{M(\alpha)}{\alpha},\
\underline\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{\underline M(\alpha)}{\alpha}, \) которые дают большую информацию о поведении функции, чем ее тип и нижний тип в классическом смысле. Это определение является распространением понятий максимальной и минимальной плотности последовательности положительных чисел, введенных Полиа, который доказал их существование, если рост считающей функции последовательности чисел имеет нормальный тип относительно \(r\). Доказывается существование величин \(\sigma_p(f)\) и \(\underline\sigma_p(f)\), если рост \(\ln|f|\) имеет тип не выше чем нормальный относительно \(r^{\rho(r)}\) в классическом смысле, т. е. \(\ln M(r,f)\leq Kr^{\rho(r)}\) при некотором \(K>0\). Рассматриваются некоторые свойства функций \(M(\alpha)\) и \(\underline M(\alpha)\).

Ключевые слова: целая функция, функция плотности, полуаддитивная функция, теорема Полиа, максимальный тип, минимальный тип

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы