Аннотация: Исследуется многомерное уравнение теплопроводности дробного порядка с граничными условиями третьего рода в области сложной формы. Вместо исходного дифференциального уравнения рассматривается модифицированное уравнение теплопроводности дробного порядка с параметром регуляризации \(\varepsilon>0\). Для приближенного решения модифицированной задачи используется метод конечных разностей. Построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации \(O(|h|^2+\tau)\), суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике в норме \(C\). Доказаны устойчивость локально-одномерной разностной схемы и равномерная сходимость решения предложенной разностной схемы к решению исходной задачи при любых значениях \(0<\alpha<1\). Выбор параметра регуляризации \(\varepsilon\) может существенно повлиять на скорость сходимости локально-равномерной разностной схемы и качество ее решения. В данной работе представлен подробный анализ выбора оптимальных значений \(\varepsilon\), позволяющих наилучшим образом определить скорость равномерной сходимости решения предлагаемой разностной схемы к решению исходной задачи.
Образец цитирования: Бештокова З. В., Бештоков М. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для многомерного уравнения теплопроводности дробного порядка с условиями третьего рода в произвольной области // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, вып. 1. C. 37-61. DOI 10.46698/f6557-1323-1446-g
1. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2008. Т. 48, № 10. C. 1878-1887.
2. Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные схемы для уравнения диффузии с дробной производной по времени в области произвольной формы // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2016. Т. 56, № 1. C. 113-123. DOI: 10.7868/S0044466916010063.
3. Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода //
Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2010. Т. 50, № 7. С. 1200-1208.
4. Ашабоков Б. А., Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения переноса примесей дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2017. Т. 57, № 9. C. 1517-1529. DOI: 10.7868/S0044466917090046.
5. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
6. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San-Diego: Academic Press, 1999. 368 p.
7. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
8. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
9. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
10. Shishkina E. L., Sitnik S. M. Fractional Differential Equations with Applications to Mathematical Physics. Elsevier Science, 2020. 592 p.
11. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.
12. Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 5. C. 658-664.
13. Бештоков М. Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана Лиувилля // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 6. С. 763-778.
DOI: 10.1134/S0374064118060055.
14. Бештоков М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических
уравнений с дробной производной Герасимова Капуто // Изв. вузов. Математика. 2018. № 10. С. 3-16.
15. Diethelm K., Walz G. Numerical solution of fractional order differential equations by extrapolation //
Numer. Algorithms. 1997. Vol. 16. P. 231-253. DOI: 10.1023/A:1019147432240.
16. Zhang Y. N., Sun Z. Z., Liao H. L. Finite difference methods for the time fractional diffusion equation on non-uniform meshs // J. Comput. Phys. 2014. Vol. 265. P. 195-210. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.02.008.
17. Кокурин М. Ю., Пискарев С. И., Спреафико М. Конечно-разностные методы для дробных дифференциальных уравнений порядка 1/2 // Функциональный анализ. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 133. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. C. 120-129.
18. Алиханов А. А., Бештоков М. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для первой начально-краевой задачи для многомерного уравнения конвекции–диффузии дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2021. Т. 61, № 7. C. 1082-1100. DOI: 10.31857/S0044466921070024.
19. Бештокова З. В., Бештоков М. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Об одной разностной схеме решения задачи Дирихле для многомерного уравнения диффузии с дробной производной Капуто в области с произвольной границей // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, № 3. C. 37-54. DOI: 10.46698/v2914-8977-8335-s.
20. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных
уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.
21. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 439 с.
22. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 617 с.
23. Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
